Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
следуя методу Фейгенбаума [123] (см. п. 7.26). Полученный результат можно
представить в виде
г (со, Cl)=gk(a>)r(2*со). (7.2.72)
Здесь | г (со) |2 - спектр движения при С ~ - 1, который можно
приближенно считать однородным (белый шум)1). Фурье-ампли-туды
2*
(7.2.73)
/=1
ш Ш С)
Рис. 7.23. Спектр мощности при трех значениях С в обратной
последовательности бифуркаций для квадратичного отображения (по данным
работы 14341).
Ломаная кривая - численные данные; плавная кривая, смещенная для удобства
вниз,- теория без учета дискретного спектра.
характеризуют систему хаотических полос шириной Wjk(j = 1, 2, ... 2к) и
находятся из рекуррентного соотношения2)
gk+i (ю) = (1 - -) gk (2ю), (7.2.74)
л/ 2 а V а /
1) См. (7.2.66); заметим также, что значение частоты 2кч> (в 7.2.72)
берется по модулю 2я [см. (7.2.68)].- Прим. ред.
2) При С Соо этот закон подобия определяет масштабно-инвариантную
структуру как непрерывного (с |g0 i2 = 1), так и дискретного (c]g0]a = =
И0126 (<в)) спектра [кроме со = я (см. [520]), для которого справедливо
соотношение (7.2.40)]. При переходе от спектральной плотности к
амплитудам гармоник (gk Х(/г>) правую часть (7.2.74) нужно разделить на V
2 (интеграл отб (2со) равен 1/2). Обратим внимание, что законы подобия
(7.2.40), (7.2.44) и (7.2.74) разные: в первом фиксирована частота, а во
втором - номер гармоники колебаний. Из (7.2.74) следует также, что
масштабный мно-
Диссипативные системы
453
причем, согласно (7.2.72), g0 = 1. На рис. 7.23 показаны численные данные
для спектра мощности при трех значениях параметра С. Соответствующий
универсальный спектр | gk |2, полученный с помощью (7.2.74), представлен
сплошными линиями, которые сдвинуты по вертикали для удобства сравнения.
Согласие с численными данными весьма хорошее. Напомним, что дискретный
спектр в теорию не включен.
§ 7.3. Двумерные отображения и связанные с ними потоки
Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных
потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в
соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность
которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место
лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от
гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило,
в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной
стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной
ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и
показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и
возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен
критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере
вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в
рассмотрена модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание
хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет
получить первое приближение для инвариантного распределения на странном
аттракторе.
7.3а. Бифуркации удвоения периода
Покажем, что последовательность бифуркаций удвоения является тем
механизмом, с помощью которого происходит переход от регулярного движения
к хаотическому в широком классе двумерных обратимых отображений. Более
того, оказывается, что вблизи перехода движение системы можно локально
описать одномерным необратимым отображением. Эти результаты были получены
на основе точной теории ренормализации [83]. Однако мы будем по-прежнему
использовать приближенную теорию Хеллемана [180- 182].
житель у в (7.2.44) является на самом деле сложной (фрактальной) функцией
частоты со, а его среднее значение (с учетом множителя 1 /V2) равно \Y-
2)- = 2а2 (1 + а2)'"1/2 и в точности совпадает с результатом для слу-
чайных фаз (см. примечание редактора на с. 440).- Прим. ред.
454
Глава 7
Рассмотрим последовательные бифуркации неподвижной точки1) периода 1
некоторого двумерного отображения Т. После первой бифуркации эта
неподвижная точка становится неустойчивой. Разложим отображение до
квадратичных членов:
/ <
Un+\\ I ^11 ^12 \ ( Un \ / ^11 ^12 Г,з
Vn+1 7 У ^21 ^22 / У V п ' \ ^21 ^22 ^23
unvn |, (7.3.1)
V
где u, v - отклонение от неустойчивой неподвижной точки. Примем, что
якобиан этого отображения В = const< 1, что, во всяком случае,
справедливо вблизи перехода.
Отображение (7.3.1) можно привести к стандартному виду
xn+i+Bxn_l = 2Cxn + 2xl (7.3.2)
следующим способом (см. [182], приложение А):
1. Переходим к переменным u', v', в которых матрица Л' диа-гональна, а
оба ее собственные значения л*, /Ц действительны, поскольку неподвижная
точка неустойчива; тогда Г переходит в Г'.
2. Условие В = const дает возможность выразить все элементы матрицы Г'
через Гп, Г)з и собственные значения.
3. Переходим к новым переменным:
s = u VГп + i/ Vri3.
d - u '\^Гц-d д/г^з.
4. Изменяем' масштаб по s, вводя
Vrn (Х1 ~ ^г)
--- VI
2Хх
В результате получаем (7.3.2) с параметром п
