Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
отображения [417]. Зависимость Xk от С отложена в двойном логарифмическом
масштабе. Ясно видна постоянная скорость сходимости по С и по у (с
параметрами б и а соответственно).
Спектральные свойства. При экспериментальном исследовании сложного
движения широко используется его спектр Фурье. Ниже мы следуем анализу
Фейгенбаума [123], который получил универсальный спектр одномерного
отображения вблизи точки сгущения Сое.
Как известно, спектр периодического движения дискретный. Когда происходит
бифуркация удвоения периода, в спектре появляются субгармоники основной
частоты отображения. Для дальнейшего анализа введем непрерывное время t и
обозначим через х(п)(t) решение после п-й бифуркации, а через Тп - его
период. Чтобы найти спектр, нам нужно общее соотношение для положения
аттракторов. Из рис. 7.13, б и пояснений в тексте следует, что ветви
бифуркаций делятся на две группы, расстояния между которыми удовлетворяют
рекуррентному соотношению:
о
С помощью сдвига на половину периода интегрирование можно провести по
периоду Тп:
Цоо = (3 -j- д/17)/2 да 3,5616,
(7.2.38)
0
(7.2.39)
Диссипативные системы
439
Для четных I ~ 2k при п > 1
х(п+1) (0 " х(я+1) (t + Тп) " Х{п) (О [см. (7.2.38) и рис. 7.13, б], и из
(7.2.39) получаем
ХЙ+1) " Х^>. (7.2.40)
Это означает, что фурье-амплитуда для данной частоты остается неизменной
при всех последующих бифуркациях. Для нечетных / = 2k + 1 подстановка
(7.2.38) в (7.2.39) дает
Х\
(п-f 1)
F (t) = [х(л) {t)-x(n) (t + Г"_а) ] exp () Сдвигая пределы во втором
интеграле, имеем
2а
1 + i 1-[х(п) (/) - х{п) (t+Tn-i)} х
2ГЯ
х ехр ( -м
2
Подставляя сюда разложение Фурье >>
1Ы =
~к'
получаем рекуррентное соотношение
>(0 = ^Xi'?)exp
yin-f 1) Л2А+1 :
- (l-i(-l)*)fl + -(~l)ft)5, (7.2.41)
2a \ a /
де
Zj (2A'-
v^)
A2fer+1.
(7.2.42)
В пределе больших л, полагая 2k + 1 = \ и 2?' ~r 1 = I' и заменяя сумму в
(7.2.42) интегралом по ?', находим
X1
(п) / 5
(t)
(7.2.43)
440
Глава 7
Поэтому для амплитудного спектра вблизи точки сгущения выполняется
универсальный закон подобия *):
| х (?) I = у~
где
(!¦)!¦ (7.2.44)
х{п)
\ о / ,
[2 (1 -г а~2) ]12- (7.2.45)
4 | ОС |
Для приближенного значения (7.2.35) для а имеем у = 5,79; точное значение
а = - 2,5029 дает у = 6,57.
Согласно (7.2.44), чтобы получить амплитуду новой гармоники (вдали от
точки бифуркации), появившейся в результате (л + 1)-й бифуркации, нужно
взять уменьшенное в 6,57 раза значение амплитуды гармоники, появившейся в
результате л-й бифуркации. Это теоретическое предсказание подтверждается
экспериментально (см. работу Г123] и рис. 7.33). Мы обсудим эти
экспериментальные данные в § 7.4.
Другие периодические траектории. При уменьшении параметра С от С0 до Соо
происходит бесконечное число бифуркаций удвоения. При С <Соо также
имеются области периодического движения. Периодические траектории
рождаются здесь парами (устойчивая и неустойчивая) в результате
тангенциальной бифуркации. В качестве примера2) рождения траектории с
периодом 3 на рис. 7.15 отложена зависимость
/з(*)=/(/(/(*)))
для f (х) согласно (7.2.46). Неподвижные точки периода 3 удовлетворяют
уравнению
хз = /з (*з) •
Для С незначительно больше Со3) это уравнение имеет только два
1) Приведенный вывод (взятый из работы [123], см. также [524]) является
ошибочным. Во-первых, в данном случае нельзя заменять сумму интегралом, а
во-вторых, неявно предполагаемая плавная зависимость комплексной
амплитуды от k' явно несправедлива, хотя бы из-за фазового множителя в
(7.2.41). Более естественным является предположение о плавной зависимости
модуля амплитуды и случайности ее фазы ввиду перехода при п -> оо к хаосу
с непрерывным спектром. Тогда из (7.2.41) и (7.2.42) можно получить у =
2а2 (1 -}- а2)-*/2= -\/2Р " 4,65 [см. (7.2.676)]. Точная теория с
использованием универсального отображения Фейгенбаума дает для среднего
по спектру параметра подобия значение (у) = 4,578 . . . [540]. Небольшое
различие между этими значениями объясняется, по-видимому, приближенным
характером исходного закона подобия (7.2.38). Соответственно изменяется и
параметр Р = 3,2375 ... в (7.2.676). Последнее значение приведено без
объяснений в работе [205].- Прим. ред.
2) Согласно работе [261], "период 3 приводит к хаосу" (при другом
значении параметра). Этот результат вытекает из более ранней теоремы Шар-
ковского [526] (см. также [547], с. 276).- Прим. ред.
Диссипативные системы
441
(действительных) корня, которые дают неподвижные точки периода 1 (рис.
7.15, а). Если же С<Со3>, то уравнение имеет шесть корней (рис. 7.15, б),
которые соответствуют двум разным траекториям с периодом 3. Легко
показать, что одна траектория устойчива (рис. 7.15, б, темные кружки), а
другая-неустойчива (светлые кружки). Критическое значение параметра Со3),
при котором рождаются эти траектории, равно
С|,3)=(1 -У~8У2" - 0,9142.
h Л
Рис. 7.15. Рождение пары траекторий периода 3 при тангенциальной
