Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
что точка х2+ лежит вблизи экстремума / при х* - - С/2; этот факт мы
используем ниже при нахождении закона подобия (7.2.36).
Последовательность бифуркаций сходится к предельному значению С' = С =
Соо, которое находится из (7.2.27):
-2С2 + 2С +2 = С ,
сю 1 оо 1 оо'
отсюда
= _L=VlZ_ да -0,781. (7.2.29)
4
Численное моделирование дает Сх да - 0,78497, что находится в хорошем
согласии с результатом ренормализации.
Скорость сходимости С к Соо можно приближенно найти, предполагая, что
асимптотически сходимость происходит по закону *)
С, да Сто + Л6-*. (7.2.30)
Подставляя это выражение в (7.2.27) и замечая, что k-я бифуркация по С'
соответствует (k + 1)-й по С, т. е.
Cfe=-2q+1+2Cfe+1H-2,
получаем
6= - 4Соо + 2= 1 + У17 "5,12. (7.2.31)
Численное решение точного уравнения ренормализации, найденное впервые
Фейгенбаумом [122], дает для отображения с одним квадратичным максимумом
6 да 4,6692. Закон подобия (7.2.30) можно представить в виде
,1 Ck i
С - с = ~6~ ~ (7-2-32>
uk~l 0
Постоянная 6 не зависит от выбора параметра. Действительно,
*) Это предположение следует из (7.2.27); см. ниже.- Прим. ред.
Диссипативные системы
435
введем новый параметр P~g(C). Считая, что g-обратимая функция, разложим Р
(С) вблизи С
Р" = ?'(С")(С*-С"). (7.2.33)
Решая это уравнение относительно Ck и подставляя решение в (7.2.32),
находим универсальное соотношение
pk+i ~pk _ 1
Pk-Pk-i 6 '
Фактически из точной теории ренормализации следует, что б - универсальная
константа для всех отображений с одним квадратичным максимумом. Принимая,
что асимптотический закон (7.2.30) справедлив и для k = 0 и k = 1,
получаем полезную оценку для предельного значения параметра (точки
сгущения):
Р- = Р,~ (Рг-Ро) = Ро+ 1.24 (РI - Р0), (7.2.34)
О - 1
где использовано приближенное значение (7.2.31) для б.
Наконец, перейдем к параметру подобия а, входящему в (7.2.25). Из
(7.2.28) и (7.2.21b) при С = Сх [см. (7.2.29) ]:
а==1662- \2Ь "- 2,24. (7.2.35)
Точная теория ренормализации дает а - 2,5029. Параметр а определяет
(асимптотически) изменение масштаба х при последовательных бифуркациях.
Иначе говоря, при увеличении в а раз вблизи х* = - С/2 очередная
бифуркация будет выглядеть точно так же, как и предыдущая. В частности,
расстояние между неподвижными точками при последовательных бифуркациях
вблизи х* подчиняется закону подобия
---------------= а. (7.2.36)
Это соотношение справедливо для ветви, идущей от xk+.
Поскольку f локально квадратичная функция х, то для первых итераций точек
вблизи х* масштаб изменяется как а2. Отсюда
Hxk+) - f(xk-) = а2_ (7.2.37)
/(**+1, +)-/(**+!.-)
Полученное соотношение выполняется для значений ' xk на ветви, идущей от
xk~- Таким образом, для половины неподвижных точек периода 2к масштаб
изменяется как а, а для остальных - как а2 [см. (7.2.38) ].
Рис. 7.13 поясняет это поведение. На рис. 7.13, а отрезок Ахх вблизи
минимума отображения переходит в отрезок | Дх2 |cx(Axx)2. Однако затем
Лх2 переходит в Дх3 снова вблизи минимума, причем | Ах3 | сс | Ах2 |. При
каждом отображении знак Ах изменяется. На рис. 7.13, б показана полная
структура неподвижных точек
436
Глава 7
х
Рис. 7.13. Иллюстрация масштабного преобразования по х для квадратичного
отображения.
а - изменение начального Дан вблизи экстремума; Даг2 ~ (A*i)2. но Даг3 ~
Д*2; б - три первые бифуркации удвоения; порядок движения по траектории
периода 4 и 8 показан в круглых скобках.
Диссипативные системы
437
для трех первых бифуркаций. Цифры в круглых скобках показывают
последовательность движения для траекторий с периодом 4 и 8, начиная с
верхней точки. Отметим также, что расстояния между соответствующими
ветвями, идущими от х^+ и от **_, отличаются в а раз.
При любом обратимом преобразовании от х к новой переменной у соотношения
(7.2.36) и (7.2.37) сохраняются. Следовательно,
Рис. 7.14. Последовательность бифуркаций удвоения периода для
квадратичного отображения в двойном логарифмическом масштабе (по данным
работы [417]).
Ь
По вертикальной оси отложены неподвижные точки х^ аттрактора периода 2 ,
который образуется при С - из аттрактора лериода^^-1. Видна неизменность
скорости сходимости по С и по х (константы б и а).
константа а также является универсальной, в том же смысле, что и б.
Помимо последовательности бифуркаций, при уменьшении С имеется зеркальная
последовательность бифуркаций согласно (7.2.6) - (7.2.8). Для нее С
увеличивается, начиная с 1/2, и стремится к своей точке сгущения, которая
определяется из (7.2.8) и (7.2.29):
С0о = (3 + УТ7)/4" 1,7808.
Для отображения (7.2.5) зеркальная последовательность бифуркаций
приходится как раз на обычно рассматриваемый интервал 0<р<4. Используя
(7.2,8) и соотношение р = 2С, находим, что
438
Глава 7
первая бифуркация наступает при ~ 3, а точка сгущения равна
что хорошо согласуется с численным значением = 3,5700.
Существование бифуркаций удвоения очень большого периода демонстрируется
на рис. 7.14, полученном с помощью численного моделирования квадратичного
