Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
начальных состояния х0 и Хд. Поэтому обратное отображение будет
неоднозначным.
Для случая, изображенного на рис. 7.8, вне зависимости от выбора х0
решение сходится к точке х1г, которая является неподвижной точкой
отображения:
*п =/(*п). [(7.2.2)
Ясно также, что х1Х - устойчивая (притягивающая) неподвижная точка.
Другая неподвижная точка х = 0 является неустойчивой (отталкивающей).
Квадратичные отображения. Как уже упоминалось, переход к хаосу для
одномерного отображения с одним максимумом определяется поведением
отображения вблизи его экстремума. Для типичного случая, когда /' = 0, но
f" ф 0, отображение локально квадратично. Разложение в ряд Тейлора вблизи
экстремума приводит к квадратичному отображению общего вида
zn+i=a+bzn + cz2n. [(7.2.3)
Линейным преобразованием его можно привести к нормальной форме, которую
мы и будем называть квадратичным отображением:
*"+, = /(*"). {7.2Лг)
где
___________ f(xn) = 2Cxn + 2xl. (7.2.46)
1) Это условие не является необходимым для хаоса, как показывает
рассмотренный ранее пример (5.2.32), а также отображение Лоренца (рис.
1.21). Напротив, области с f = 0 способствуют устойчивости (регулярности)
движения, так как они уменьшают показатели Ляпунова [см. (7.2.46)].
Поэтому рассматриваемая ниже теория бифуркаций удвоения периода в
окрестности [' (х) = 0 есть прежде всего теория сложного разрушения такой
устойчивости.- Прим. ред.
428
Глава 7
Представляют интерес две области параметра С. Для 0<С<2 интервал - С<х<0
переходит в себя, как показано на рис. 7.9, а и б. Для - 1<С<1/2
переходит в себя интервал - 1/2<х< <1/2 - С (см. рис. 7.9, в-е). Отметим,
что эти два интервала значений С перекрываются (см. рис. 7.9, б и б), а
движение в обоих случаях аналогично и отличается только тем, какой
отрезок х переходит в себя. Особое значение имеет точка х* = - С/2, в
которой функция / экстремальна.
/ / /
Рис. 7.9. Квадратичное отображение (7.2.4) для различных значений
параметра С.
Сплошная кривая показывает отрезок х. переходящий в себя. Случай I: - С
<х < 0;
а) С >1/2; 6) 0 < С < 1/2. Случай II: - 1/2 <х < 1/2 - С; в) 0< С <
1/2; г) С = 0; й) - 1, 2 <С < 0; е) - 1 < С < - 1/2.
Другая удобная форма квадратичного отображения получается путем замены х
= - (р/2) у и С = р/2 в (7.2.4). Это приводит к так называемому
логистическому отображению:
Уы-1 = Мп(1-Уп)- (7'2-5>
Для 0<р<4 интервал 0<р<1 переходит в себя. Это соответствует значениям С
в интервале 0<С<2 (рис. 7.9, а и б). Отображение (7.2.5) использовалось
как для изучения общих свойств одномерных отображений, так и в некоторых
задачах популяционной биологии. На рис. 7.10 показано отображение (7.2.5)
для двух значений р. Оба отображения, (7.2.4) и (7.2.5), являются
эквивалентными представителями общего квадратичного отображения (7.2.3).
Зеркальная симметрия. Квадратичные отображения обладают сим-
Диссипативные системы
429
метрией, которая приводит к одному и тому же поведению для двух разных
значений параметра. Действительно, производя в (7.2.4) линейную замену
х = х + -^--С, (7.2.6)
Рис. 7.10. Отображение (7.2.5) для 0<3р<4.
Интервал 0 су <]1 преобразуется сам в себя.
получаем
хп+1 = 2Схп + 2х*, (7.2.7)
где новый параметр С равен
С=1- С. (7.2.8)
Из сравнения (7.2.7) и (7.2.4) следует, что квадратичные отображе-
ния с параметрами, равными С и 1-С, обладают одними и теми же свойствами.
Иначе говоря, отображение (7.2.4) симметрично относительно С = 1/2.
Аналогично, производя замену
у = (1-р-1)-(1-2р-1)у (7-2.9)
в отображении (7.2.5), получаем
Уп+\ = УУп (1 Уп) 1 (7.2.10)
где
р = 2 - ц, (7.2.11)
т. е. отображение симметрично относительно р = 1.
430
Глава 7
7.26. Периодическое движение
Рассмотрим неподвижные точки квадратичного отображения (7.2.4) и их
линейную устойчивость. Неподвижные точки находятся из условия:
хх = 2Сх^ + 2х\, (7.2.12)
которое соответствует пересечению кривой / (х), определяемой (7.2.46), и
прямой / = х. Решение (7.2.12) имеет два корня:
Л'хо = 0> хп - ~ (7.2.13)
Устойчивость неподвижных точек определяется из линеаризованного
отображения (§ 3.3). Подставляя
хп = Xi -j- Ахп (7.2.14)
в (7.2.4) и удерживая только линейные члены, получаем
Ахп = ЦАх0, (7.2.15)
где собственное значение = f (л^). Следовательно, хг - устойчивая
(притягивающая) неподвижная точка, если | |<с 1, и не-
устойчивая (отталкивающая), если l^l^-l. Отсюда следует, что точка хх1
устойчива при
1 Y Ы| = ]2-2С|<1,
или для 1/2<С<3/2. Аналогично неподвижная точка х10 устойчива при
I Г (Лчо) I = I 2С |< I, или для - 1 /2<Г С"<; 1 /2.
Бифуркации. Рассмотрим устойчивость отображения при уменьшении параметра
С, начиная с некоторого С>1/2, когда точка х1х устойчива, а х10
неустойчива. При С0=1/2 точка х1г становится неустойчивой, а х10 -
устойчивой. При дальнейшем уменьшении С вплоть до С = С\ = - 1/2 точка
х10 остается устойчивой.
Чтобы понять, что происходит при С<; - 1/2, нужно рассмотреть
периодические точки периода 2, которые находятся из условия:
