Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 146

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 742 >> Следующая

/
Рис. 7.2. Бифуркации в одномерных и двумерных потоках.
а - тангенциальная бифуркация; б - смена устойчивости; в-бифуркация
удвоения; г - обратная бифуркация удвоения; д - бифуркация Хопфа;
е~обратная бифуркация Хопфа. Случаи (а - г) типичны для одномерных
потоков; случаи (а - е) - для двумерных потоков. Сплошные кривые -
устойчивые решения, пунктирные кривые - неустойчивые решения.
где V = (.1-х2, ар - некоторый параметр, положение неподвижных точек
получается из условия dxldt - 0 или V = - dU/dx = О и равно + VV Исследуя
потенциал U (х, р) вблизи неподвижных точек, найдем, что точка х - -}--
%/р устойчива, а точка х = = - | р неустойчива. При р<0 неподвижные точки
для действительных х отсутствуют. Появление двух неподвижных точек при
прохождении р через нуль иллюстрируется на рис. 7.2, а и является
примером тангенциальной бифуркации. Существуют бифуркации и других типов.
Так, для V = рх-х2 происходит смена устойчивости (рис. 7.2, б). Для V ~
рх-х3 имеет место бифуркация удвоения х) (рис. 7.2, в), при которой
вместо одного устойчи-
') В оригинале - pitchfork bifurcation (бифуркация типа "вилки").- Прим.
перев.
416
Глава 7
вого фокуса возникают два. Возможна также и обратная бифуркация удвоения
(рис. 7.2, г). За исключением особых случаев, только эти бифуркации и
встречаются в одномерных потоках.
Для ограниченного двумерного потока на плоскости, согласно теореме
Пуанкаре-Бендиксона, имеются только два типа аттракторов: 1) устойчивые
неподвижные точки, или устойчивые фокусы, и 2) простые замкнутые кривые,
или предельные циклы (кривая Хг на рис. 7.1). Покажем, как образуется
предельный цикл для системы
(7.1.12а)
at
- =со0>0, (7.1.126)
dt
где г, 0 - полярные координаты. При |х<сО правая часть (7.1.12а) всегда
отрицательная и траектория свертывается к фокусу г = 0. Для ц>-0 вблизи г
= 0 скорость г положительна и неподвижная точка г = 0 перестает быть
притягивающей. Поскольку гГ>0 для
всех и г<Г0 для г>|4, то траектория стремится к предель-
ному циклу г (t) = fx, 0 (t) = соД 0О.
Превращение устойчивого фокуса в предельный цикл при прохождении fi через
нуль (рис. 7.2, д) называется бифуркацией Хопфа. Возможна также и
обратная бифуркация Хопфа (рис. 7.2, е). На рис. 7.2, а-е показаны все
типичные бифуркации в двумерных потоках *).
7.16. Примеры странных аттракторов
Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный
аттрактор, равна трем, как в модели Лоренца, описанной в § 1.5. Еще более
простая система была рассмотрена Рёслером [350 ], и мы опишем ее ниже.
Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут
рассмотрены на примере отображения Хенона [187].
Аттрактор Р'ёслера. Рассмотрим следующую систему нелинейных
дифференциальных уравнений [350]:
X=-(Y--Z),
Y = X+-Y, (7.1.13)
5
i=_L+z(x-р).
_____________________________ о
1) В трехмерных потоках имеется аналог бифуркации Хопфа, когда
предельный цикл становится неустойчивым и переходит в "предельный тор".
Однако в общем случае притягивающие торы являются структурно
неустойчивыми относительно изменения параметра р (см. работу [254]).
Диссипативные системы
417
Результат моделирования этой системы на аналоговой вычислительной машине
для р = 5,7 представлен на рис. 7.3, а [368], где показана проекция
странного аттрактора на плоскость X, Y (ср. рис. 1.18, б). Рассмотрим
сечение аттрактора по линии (0,1), как показано на рис. 7.3, а. Тогда
последовательные значения Хп в этом сечении определяются приближенно
одномерным необратимым 1) отображением, представленным на рис. 7.3, б.
Таким образом, хаотическое движение на аттракторе Рёслера приближенно
описывается отображением для X.
СклаЭка
б
Рис. 7.3. Аттрактор Рёслера (по данным работы [368]).
а - проекция движения иа плоскость (X, У); б - одномерное отображение в
плоскости Y = 0.
Переход от трехмерного потока к одномерному отображению является
приближенным. Поэтому кривая на рис. 7.3, б должна иметь конечную
толщину, связанную с тонкой структурой слоя в сечении Y = 0, который
фактически содержит бесконечно много отдельных листов. Однако для этого и
многих других странных аттракторов скорость сжатия фазового объема
(7.1.8) столь велика, что при любом моделировании все листы кажутся
слившимися в один. Поэтому, вообще говоря, одномерное отображение
представляет основные особенности поведения исходного потока 2).
Переход от простого к странному аттрактору иногда совершается путем
последовательных бифуркаций с удвоением периода, которые сходятся по
некоторому параметру к предельному значению. За этим значением движение
становится суперпозицией хаотического
х) В том смысле, что обратное отображение неоднозначно (двузначно).-¦
Прим. ред.
2) Вопрос о возможности описания трехмерного потока или двумерного
отображения с помощью одномерного отображения обсуждается в п. 7.3в.-
Прим. перев.
418
Глава 7
и периодического с обратными бифуркациями удвоения частоты. На рис. 7.4,
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed