Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
предисловие редактора перевода).- Прим. ред.
Глава 7
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 7.1. Простые и странные аттракторы
Диссипативные системы обладают той особенностью, что при их движении
фазовый объем сжимается к аттрактору более низкой размерности, чем
исходное пространство. При этом если какой-либо параметр системы
изменяется, то регулярное движение на аттракторе может смениться
хаотическим, и наоборот. Хотя наши знания о хаотическом поведении
диссипативных систем ни в коей мере нельзя считать полными, все же к
настоящему времени многие особенности такого движения хорошо изучены.
Разработаны также методы теоретического анализа диссипативных систем.
В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных
систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на
простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со
стохастическим движением. В § 1.5 уже приводился пример странного
аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем
со странными аттракторами: система Рёслера и отображение Хенона. Особое
внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны
с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с
геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается
в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности.
Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с
показателями Ляпунова.
В § 7.2 рассматривается динамика необратимых одномерных отображений,
начиная с их периодических точек, линейной устойчивости и структуры
бифуркаций. Затем исследуется хаотическое движение и его связь с
показателями Ляпунова, асимптотическими распределениями, спектром
мощности, а также инвариантные свойства движения.
В § 7.3 рассматриваются двумерные обратимые отображения и связанные с
ними потоки. Показывается, что последовательность бифуркаций удвоения
периода, приводящая к хаотическому движению, аналогична найденной для
одномерных отображений. Далее описывается метод Мельникова для
определения перехода от регулярного движения к стохастическому. Метод
иллюстрируется на примере вынужденных колебаний нелинейного осциллятора с
затуханием. Описан метод вычисления инвариантных распределений с помощью
уравнения ФПК.
Диссипативные системы
411
Наконец, в § 7.4 рассматривается переход к предельному случаю непрерывной
среды. Приводится краткий вывод уравнений Лоренца в задаче Рэлея-Бенара о
движении подогреваемого снизу слоя жидкости и обсуждаются условия
применимости этих уравнений. В заключение описываются различные модели
перехода к турбулентности в жидкости и проводится сравнение с имеющимися
экспериментальными данными.
Хаотическому движению в диссипативных системах посвящено большое число
работ. В частности, одномерные отображения рассматриваются, например, в
работах [82, 122, 123, 296] х). Имеются также прекрасные обзоры [180,
194, 324, 340, 354, 368, 411 ]. Наше изложение ниже основано главным
образом на работах [180, 324, 368].
7.1а. Основные свойства
Рассмотрим движение, описываемое N дифференциальными уравнениями первого
порядка
-^-=V(x), (7.1.1)
где х и V - ./V-мерные векторы, причем V не зависит явно от времени.
Фазовое пространство такой системы характеризуется переменными xt (i = 1,
N) и имеет размерность N. Если V- гладкая функция, то решение для потока
х (х0, i) существует при всех t. Любая точка фазового пространства
однозначно определяет состояние системы (7.1.1). В п. 1.26 уже
показывалось, как построить сечение Пуанкаре и соответствующее
отображение Пуанкаре для гамильтоновой системы. В диссипативных системах
такие отображения сохраняют некоторые, но не все свойства, присущие
гамильтоновым системам. Как видно из рис. 1.3, а, на котором изображена
поверхность сечения отображение Пуанкаре строится с помощью
интегрирования уравнений (7.1.1) между двумя последовательными
пересечениями траектории с Отображение имеет вид
Хп+г = /(•*"), С7*1-2)
где X и /- векторы размерности N-1. Если функция V (х) является гладкой,
а вектор V нигде не касается то можно показать, что / (л:) также гладкая
функция. Более того, поскольку решение л:(л:о, t) существует для всех t,
то функция / обратима, т. е. уравнения (7.1.2) можно однозначно разрешить
относительно лг":
хп = /-1 (^я+i). (7.1.3)
Это соответствует изменению знака времени и интегрированию (7.1.1) от
хп+1 до хп.
В См. также [526-529].- Прим. перев.
412
Глава 7
Сжатие фазового объема. По теореме Лиувилля (п. 1.26) при движении
гамильтоновой системы ее фазовый объем сохраняется. В противоположность
этому в диссипативных системах фазовый объем в среднем сжимается.
Вычислим изменение малого элемента объема Ат в точке ха:
Ат(*0, 9= П>*. (7.1.4)
i
где
Дх.С*г". Л = ^
дхи
Ах,- (лг0, 9= **<(*¦>•*> Ах,.0. (7.1.5)
Скорость изменения Ат равна
д (д:) - = у -!--------дЛ ^
к ' Ах dt jLi Ах dt 4 '
(7.1.7)
Из (7.1.5) имеем
d (Д xi) д dxt (х0, t)
