Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 143

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 742 >> Следующая

использовали модель в виде нескольких параллельных гра-витационно-
взаимодействующих листов, которая описывается гамильтонианом
j N N
Н (и, х) = m2 Mi + 4itGm2 I xi-ХЛ* (6.5.8)
2 i=l j>i
где т - масса листа, a G - гравитационная постоянная. Для каждого счета
начальные условия выбирались случайно при фиксированной полной энергии
системы. Уравнения движения интегрировались аналитически до момента
пересечения каких-либо двух листов. В качестве критерия стохастичности
использовалась локальная
х) Другое, более известное, решение проблемы Ферми-Паста-Улама связывает
регулярность колебаний некоторых видов нелинейной цепочки с близостью их
к полностью интегрируемым нелинейным системам при любой энергии (см.,
например, прекрасный обзор Забуского [518]). В частности, уравнение
(6.5.3) с квадратичной нелинейностью ((дх/дг)2 -> дх/дг) и дисперсией
(см. примечание редактора на с. 406) имеет бесконечный набор независимых
интегралов движения и является, по-видимому, полностью интегрируемым.
Хотя такое решение проблемы годится далеко не всегда ввиду
исключительности полностью интегрируемых систем, оно послужило толчком
для развития мощных методов интегрирования нелинейных уравнений (см.,
например, работы [457, 518]).- Прим. ред.
408
Глава 6
Таблица 6.1. Модель (6.5.8) притягивающихся листов (100 траекторий)
N (число листов) Число регулярных траекторий Число стохастических
траекторий N (число^листов) Число регулярных траекторий Число
стохастических траекторий
2 100 0 5 1 99
3 96 4 6 0 100
4 14 86 7 0 100
неустойчивость движения (§ 5.3). Полученные результаты приведены в табл.
6.1. Видно быстрое распространение стохастичности по фазовому
пространству с ростом числа листов N. Случай двух листов является, как
известно, интегрируемым.
Интерпретация этих результатов затруднительна, поскольку сингулярность
взаимодействия при пересечении листов нарушает условие гладкости теоремы
КАМ (п. 3.2а). Как мы знаем на примере сингулярного отображения Улама
(3.4.4), это приводит к глобальной стохастичности, а регулярные
траектории сохраняются только в островках устойчивости внутри резонансов.
Если доля этих островков уменьшается с ростом N, то можно ожидать
быстрого возрастания числа стохастических траекторий, что согласуется с
результатами [144].
Потенциал Леннарда-Джонса. Другим хорошо известным примером является
система с потенциалом Леннарда-Джонса
V ы = 4е 1(о/п,)ы-{о1п,П (6.5.9)
где гцё,- расстояние между частицами i и /, а а - пространственный
масштаб взаимодействия. Слабое притяжение при /";/> а сменяется сильным
отталкиванием при гц<^.а. Гамильтониан системы имеет вид
Л - -- 2 р?+ 2 ^(ги)-
2 {= 1 /<;
Гальгани и сотр. [148] исследовали эту задачу в простейшем случае
одномерного движения частиц. Они обнаружили, что распределение энергии по
невозмущенным (линейным) модам колебаний увеличивается с ростом N. Эти
результаты, однако, трудно интерпретировать с точки зрения
стохастичности, поскольку обычные критерии стохастичности в работе не
использовались.
Стоддард и Форд [394] исследовали ту же задачу для двумерного движения.
Такая модель является сглаженным вариантом системы твердых дисков,
движение которых, как показал Синай, обладает перемешиванием (см. п. 1.4а
и § 5.2). В качестве критерия стохастичности использовалась
неустойчивость близких траекторий, которая и была обнаружена для всех
исследованных начальных условий в системе из 100 частиц (N = 200). Этот
результат пред-
Многомерные колебания
409
ставляется вполне естественным для сильно нелинейного взаимодействия
Леннарда-Джонса.
Заключение. С ростом числа степеней свободы наблюдаются две конкурирующие
тенденции. С одной стороны, сетка резонансов в фазовом пространстве
становится все более плотной. С другой стороны, ширина резонансов обычно
уменьшается. В зависимости от поведения усредненного параметра перекрытия
движение системы при N -оо может быть как полностью стохастическим, так и
полностью регулярным. Примером систем первого типа является газ Леннарда-
Джонса, а второго - непрерывные системы, такие, как нелинейная струна *).
Хотя строгого критерия разделения систем на эти два типа не существует,
оценка перекрытия резонансов позволяет, по-видимому, сделать
правдоподобные заключения о поведении системы при больших N.
В Последнее впечатление, по-видимому, обманчиво и связано с тем, что
наиболее известные примеры непрерывных систем относятся к очень
специальному виду (слабо нелинейные волны), а их динамика исследована
только на относительно коротком масштабе времени и для узкого класса
начальных условий (небольшое число низкочастотных мод). По всем
существующим общим критериям граница стохастичности резко понижается с
ростом N (см., например, работу [70], § 4.5 и 4.6), так что в типичном
случае при N -> оо хаос охватывает, по-видимому, практически все фазовое
пространство. Однако значение регулярной компоненты движения далеко не
исчерпывается занимаемым ею объемом фазового пространства (см.
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed