Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
(6.5.2). Однако они не исследовали зависимость от N. Из оценки (6.5.2)
следует, что с ростом N при постоянной полной энергии движение становится
стохастическим во всем фазовом пространстве.
Такая упрощенная модель не является, конечно, адекватной для всех
многомерных систем. Так, например, она не описывает солитонные регулярные
решения, которые, как известно, существуют для некоторых нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, [240,
249, 438])2). Однако, как мы увидим ниже, многие системы действительно
оказываются стохастическими при больших N.
Проблема Ферми-Паста-Улама. Одной из интересных моделей является
нелинейная цепочка, исследованная численно в работе
*) Для иррационального отношения r/s (несоизмеримые частоты) можно было
бы говорить, в некотором смысле, о двух внешних степенях свободы (см.
работу [477]), как и предполагается ниже в основном тексте для
произвольного числа N частот. Однако в цитируемой работе [202] г, s -
целые числа, и отображение (6.5.1) описывает просто две гармоники одной
частоты (ср. [482, § 6], где исследовано аналогичное отображение с
большим числом гармоник). Отметим, что отображения вида (6.5.1) с
несоизмеримыми частотами естественно возникают в теории диффузии Арнольда
[70, § 7.3]. - Прим. ред.
2) См. также книгу [457].- Прим. ред.
406
Глава 6
Ферми, Паста и Улама [127]. Такую цепочку можно рассматривать как модель
нелинейной струны, колебания которой описываются уравнением х)
д'2х д2х
dt2 dz2
i + зр,' дх
= 0. (6.5.3)
dz
Движение цепочки описывается системой нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений (все массы приняты равными единице):
*/ = (*/+i + */-i - 2*/) + Р [(*/+1-•*/)3-(*;-Xj-if], (6.5.4)
где / -^ 1, 2, . . . , А7 и концы цепочки закреплены. Полное число частиц
было выбрано равным N = 64. Вопреки ожиданию энергия не распределялась по
различным модам колебаний, а система регулярно возвращалась к начальному
состоянию2). Эти неожиданные результаты3) стимулировали многочисленные
исследования модели (6.5.4) (библиографию по этой проблеме см. в работе
[31 ]).
При аналитическом исследовании этой модели естественно использовать
нормальные моды колебаний линейной системы ((J = 0), что было сделано в
ряде работ (см., например, [135, 208]). С помощью преобразования
(6И)
ft=l
Израйлев и Чириков при р/8Л7 I нашли следующую приближенную систему
уравнений:
Х; =
1 COfe (2 - COfe) flfel = ~Г7, 2 Fkm COS 0?m> (6.5.6)
4N 0/v m
где coft = 2 sin (nkl2N), a 0*m = coAm - частоты возмущения. Используя
критерий перекрытия резонансов, Израйлев и Чириков после довольно
громоздких вычислений получили следующее условие стохастичности для
низких мод:
4-; k^N- (6-5J)
dz j k
зр(-
4) Для качественно правильного моделирования в правую часть уравнения
(6.5.3) нужно добавить дисперсионный член (а2/12) о4х/дг4, где а -
расстояние между массами в цепочке. Решения же уравнения (6.5.3) являются
сингулярными вследствие "опрокидывания" нелинейной волны.- Прим. ped.
2) Интересно отметить, что выдвинутая а работе [127] на основании этих
результатов общая гипотеза о существовании "квази-мод" (см. также [135])
была в тот момент уже доказана Колмогоровым [229] для широкого класса
гамильтоновых систем.- Прим. ped.
3) Первоначальное удивление было столь велико, что долгое время (до
работы [208]) случаи хаотических колебаний нелинейной цепочки в работе
[127] (см., например, рис. 5) оставались незамеченными.- Прим. ped.
Многомерные колебания
407
Они нашли, что эта оценка не противоречит имевшимся численным данным. Это
согласуется и с модельной оценкой (6.5.2), которая тоже предсказывает
перекрытие резонансов при достаточно большом N. Однако так как при
фиксированной энергии системы высокие моды будут иметь очень малую
амплитуду, то не ясно, будет ли хаотическая часть фазового пространства
стремиться к нулю или к единице с ростом N.
Аналогичные результаты были получены ранее Фордом и Уотерсом [135]. Они
нашли, что существенный обмен энергией между модами возможен только
вблизи резонансов по невозмущенным (линейным) частотам мод, и дали
качественный критерий этого. В соответствии с этим критерием они
видоизменили модель Ферми- Паста-Улама и численно продемонстрировали
сильный обмен энергией между всеми модами (для N = 5), который имел, по-
видимому, стохастический характер.
Используя другой подход, Бивинс и др. [31] исследовали взаимодействие
нескольких мод в случае, когда одна из них имеет большую амплитуду и
возбуждает соседние моды. Такой подход охватывает только относительно
короткий интервал времени и ничего не говорит об асимптотическом
поведении системы. Тем не менее они наблюдали переход от регулярного
обмена энергией между модами при слабом возмущении к похожему [на
хаотический при более сильном возмущении 1).
Модель притягивающихся листов. Для исследования зависимости
стохастичности от числа степеней свободы Фрёшле и Шейдекер (144)
