Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Dr = Dksu cos2 ф. (6.3.36)
Этим устанавливается соответствие между резонансным каналированием и
диффузией резонанса х).
Аналогичные соотношения можно получить и для многих степеней свободы,
используя ортогональную метрику, описанную Чириковым [70].
§ 6.4. Диффузия в тороидальных магнитных ловушках
Важным примером задачи о внутренней и внешней диффузии является задача об
удержании плазмы в тороидальных магнитных ловушках. Диффундировать могут
как сами магнитные линии, так и частицы поперек магнитного поля. Особый
интерес представляет диффузия частиц с учетом их столкновений или
внешнего шума. В зависимости от соотношения между шумом и динамикой
частиц диффузия может быть либо одномерной (аналогично п. 5.56), либо
типа резонансного каналирования (§ 6.3). В п. 6.4а рассматриваются
основные резонансные процессы в тороидальных магнитных ловушках. В п.
6.46 обсуждаются различные режимы внешней диффузии. Проведено сравнение
случаев неподвижных и диффундирующих резонансов. В п. 6.4в приведен
пример последнего случая, иллюстрирующий теорию, изложенную в п. 6.36. В
п. 6.4г кратко обсуждается самосогласованная задача, когда определяющие
движение частиц поля сами зависят от динамики частиц.
6.4а. Динамика магнитных линий
Различные конфигурации магнитного поля. Простейшее (тороидальное) поле
создается длинным прямолинейным проводником
Э Это соответствие является формальным и в общем случае несправедливо.
Если, например, внешний шум сохраняет энергию (скажем, упругое рассеяние
электрона на остаточном газе в магнитной ловушке), то D±Е = 0, тогда как
Dr Ф 0.- Прим. ред.
Многомерные колебания
387
с током. В таком поле частицы дрейфуют поперек магнитных линий, поэтому
оно не может служить для удержания плазмы. Добавление азимутального тока
приводит к появлению второй компоненты поля, так называемого
полоидального поля (рис. 6.20). Магнитные линии результирующего поля
лежат на торе и напоминают фазовые траектории интегрируемой динамической
системы на рис. 3.1, а.
Для удержания плазмы были разработаны различные установки. Среди них
система с жестким токонесущим проводником
1
Рис. 6.20. Геометрия тороидального магнитного поля.
вдоль малой оси тора г = 0 и аксиальным полем (левитрон), система со
спиральной обмоткой на торе г = а (стелларатор) и система с тороидальным
током в плазме (токамак).
Уравнения магнитных линий в таких системах можно записать в гамильтоновой
форме (см., например, 1137, 307, 34911)). В случае азимутальной симметрии
d/dty = 0 (токамак и левитрон) получаются уравнения нелинейного
осциллятора с одной степенью свободы, а интегралом движения является
магнитный поток, ограниченный магнитной поверхностью (см. ниже).
Нарушение азиму-
1) Это связано с "несжимаемостью" магнитного потока (div В = 0), т. е.
сохранением "фазового объема" этой динамической системы, который в данном
случае является просто трехмерным объемом в обычном пространстве.- Прим.
ред.
388
Глава 6
тальной симметрии приводит как бы к явной зависимости гамильтониана от
"времениподобной" переменной ф, а следовательно, и к очень сложному
движению. В частности, магнитные поверхности разрушаются, образуется
магнитная резонансная структура со стохастическими слоями в окрестности
сепаратрис и в зависимости от величины возмущения возникает локальная или
глобальная диффузия магнитных линий.
Магнитные поверхности. В тороидальной системе координат (г, ф, ф) (рис.
6.20) магнитные линии определяются уравнениями
dr
~в7
rdq>
Rdty В
(6.4.1)
где г и R = R0 + г cos <? - малый и большой радиусы линии поля; Вг и Вф-
по-лоидальные компоненты поля, a - тороидальная компонента. Магнитное
поле в токамаке можно приближенно представить в виде [389]
Bq, (г)
В
0,
Во
л,
О 0,2 0,4
0,6 0,8 R
1,0 1,2 1,4
где В о = Вф (Во), а
(6.4.2)
вели-
Рис. 6.21. Сечение магнитных поверхностей левитрона плоскостью ф = const;
Rо = 1 (по данным работы [137]).
чина hs = 1 Н cos ф опи-
R о
сывает зависимость поля от угла ф. В левитроне для обеспечения равновесия
плазмы необходимо аксиальное поле, которое вносит дополнительную
зависимость от ф, значительно более сильную, чем в
(6.4.2). Пренебрегая последней, можно представить поле левитрона в виде
Во
В = I B"sin ф,
Рг
+ Ви соэф, В0
(6.4.3)
где В"- аксиальное поле (направленное вверх на рис. 6.20), а р = =
IJ{IrRо) характеризует отношение аксиального 1и и азимутального IR токов.
Аксиальное поле ослабляет полоидальное на внутренней стороне тора, так
что последнее обращается в нуль (Вф = 0) в точке ф = л, г = В0/(РВ").
Магнитные линии полей (6.4.2) и (6.4.3), определяемые уравнениями
(6.4.1), заполняют магнитные поверхности, охватывающие малую ось тора и
вложенные друг в друга. Сечение магнитных поверхностей левитрона пло-
Многомерные колебания
389
скостью ф = const показано на рис. 6.21. Обратим внимание на магнитную
поверхность типа сепаратрисы, которая содержит неустойчивую периодическую
траекторию с Вф = 0.
