Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 135

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 742 >> Следующая

приближенно квазилинейным выражением (5.4.216):
D = ((А/)2) = _ (6.3.26)
2 4 v
В этом случае фаза 0 является полностью стохастической, и диффузия не
зависит от внешнего шума по параметру р. При т ^ 1 внешний шум полностью
хаотизирует 0 за одну итерацию отображения, и скорость диффузии
оказывается предельной (6.3.26) независимо от величины К¦ Нас, однако,
интересует случай совместного действия резонансов и внешнего шума (ср. п.
6.3а), который имеет место при выполнении условий
К" 1; т"1. (6.3.27)
В этой области изменения переменных / и Р за одну итерацию малы, так что
разностные уравнения (6.3.21) можно аппроксимировать следующей системой
дифференциальных уравнений 1):
dl = К sin0, (6.3.28а)
dn
49
dn
dP
=I + P, (6.3.286)
g/т1/*. (6.3.28b)
dn
Диффузия резонанса. Уравнения (6.3.28a) и (6.3.286) имеют гамильтониан
Н - /2/2 -\-Р (п)1 К cos 0, (6.3.29)
описывающий "блуждающий" резонанс с центром' при / = - Р (п). Используя
(6.3.25), получаем
(/*) = </>*)=_?L. (6.3.30)
т
Ч В отличие от отображения (6.3.21) уравнения((6.3.28) описывают
единственный резонанс / + Р = 0.- Прим. ред.
384
Глава 6
Локальный коэффициент диффузии внутри резонанса х) равен
Dr-
</2) 2 п
1
(6.3.31)

Это выражение справедливо при условии, что траектория остается внутри
резонанса в течение многих периодов фазовых колебаний, т. е. что параметр
5 = co0Td> 1.
(6.3.32а)
Здесь со0 - частота фазовых колебаний, a xd - время внешней диффузии
через резонанс. Поскольку ширина резонанса /С/j, то из (6.3.30) получаем
оценку
xd ~ /(т.
С другой стороны, частота фазовых колебаний со0да да Кт, и условие
(6.3.32а) принимает вид
S - K32т" 1.
(6.3.326)
Фактически замена переменных
Р' =
п = К 2 п
показывает, что S является единственным параметром уравнений (6.3.28).
Рис. 6.19. Связь между резонансным ка- 0 Точнее коэффициент
налированием (а) (п. 6.3а) и диффузией диффузии вместе с резонан-
резонанса (б) (п. 6.36). сом.- Прим. ред.
Многомерные колебания
385
Хотя локальный коэффициент диффузии представляет некоторый интерес и сам
по себе, более важно знать среднюю скорость диффузии. Ее можно найти
следующим образом. Если пренебречь диффузией вне резонанса (ср. п. 5.56)
х), то средняя скорость диффузии пропорциональна доле времени,
проводимого траекторией внутри резонанса, которая в свою очередь
пропорциональна фазовой площади, занимаемой резонансом. Используя
гамильтониан (6.3.29) и учитывая периодичность исходного отображения
(6.3.21) по /, получаем для относительной фазовой площади резонанса
Л
4(2К'у2 ( (1 - cose)^2
fr =
4К 12
(2л)2 л2
Отсюда средний коэффициент диффузии
г1/°
{D) = Drfr = -А- _А_1. (6.3.33)
л2 т
Помимо диффузии вместе с резонансом происходит еще и диффузия внутри
резонанса. Последний эффект был рассмотрен Коэном и Раулэндсом [81 ],
которые получили поправку к (6.3.31) при К С 1:
Dr=-/ Н '-------------------)¦ (6.3.34)
2т \ 2 - Л'/2 / v ;
Неясно, однако, справедлива ли эта поправка в случае длительной диффузии
при многократном попадании в резонансы. Как бы то ни было, эта поправка
составляет всего около 50 %. По-видимому, такого же порядка и другие
ошибки, в частности, из-за приближений вблизи сепаратрисы2). Поэтому
можно принять выражение (6.3.33) в качестве разумной оценки средней
скорости диффузии.
Связь с резонансным каналированием. Сравним расчет коэффициента диффузии
вдоль резонанса DKBн в п. 6.3а с проведенным выше расчетом Dr. Мы
покажем, что при некоторых упрощающих предположениях эти задачи можно
связать друг с другом.
Рис. 6.19, а напоминает схему расчета Пкан. Внешняя диффузия с
коэффициентом D±E перпендикулярно энергетической поверхности вызывает
диффузию вдоль резонанса со скоростью
E)KaH = D±?/sin2i|3. (6.3.4)
г) Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе [71].- Прим. ред.
2) По-видимому, имеется в виду нерезонансная диффузия вблизи ре-
зонанса. Согласно работе [71], эта поправка становится заметной только
при S > 108. С другой стороны, соотношение (6.3.33) совпадает с точностью
лучшей 10 % с результатом Рютова и Ступакова [357], полученным ранее
другим методом. Поэтому поправка Коэна и Раулэндса остается проблема-
тичной. Если понимать ее как результат прохождения резонанса, то в рас-
сматриваемом режиме Будкера (S > 1) прохождение является медленным,
и средний эффект многих прохождений близок к нулю (см. [467]).-
Прим. ред.
386
Глава 6
На рис. 6.19, б показано то же самое в новых переменных /], Г2, так что
внешняя диффузия с коэффициентом D Е идет теперь по линии 1'2, а вектор
резонанса т направлен по 1[. При этом величина и угол ф не изменяются.
Наконец, на рис. 6.19, в мы еще раз переходим к новым переменным
P = I2 ctgi|>, / = /!,
что эквивалентно растяжению масштаба по Г2 в ctg ф раз.
Линия резонанса проходит теперь под углом 45°, а коэффициент внешней
диффузии возрастает
Dp = D^Ecig2^. (6.3.35)
Рассматривая Р как параметр и используя (6.3.30), находим, что компонента
диффузии по / равна Dr = Dp. Сравнивая (6.3.35) и (6.3.4), получаем
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed