Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
вдали от резонанса.
Резонансное каналирование возможно лишь для достаточно сильного
(широкого) резонанса, когда время внешней диффузии поперек резонанса
Многомерные колебания
381
велико по сравнению с периодом фазовых колебаний
со^т0>2л. (6.3.18)
Здесь ДIR и D±R- полная ширина резонанса и скорость внешней диффузии,
перпендикулярная линии резонанса, а со^ - частота фазовых колебаний. В
примере Теннисона Д/R ~ 3 X 10_3, D R "'10-s, td " 450, o)R ж 0,03, так
что условие coRrD " "14>2я выполняется.
Резонансное каналирование при условии (6.3.18) соответствует так
называемой банановой диффузии частиц в тороидальных магнитных ловушках
при редких столкновениях. Такое название происходит от формы инвариантных
кривых внутри резонанса (см. рис. 6.22, а) х). С ростом уровня шума
условие (6.3.18) перестает выполняться и происходит переход к режиму, при
котором скорость диффузии не зависит от величины шума,- к так называемому
режиму плато2). Чириков [71] и Коэн и Раулэндс [80] исследовали этот
режим на модели, описанной в п. 6.36. Мы отложим обсуждение этого режима
до § 6.4, где рассматривается диффузия частиц в тороидальных магнитных
ловушках при наличии резонансов. Наконец, при еще большей интенсивности
шума резонансная структура уже не играет никакой роли, и возникает третий
режим чисто классической диффузии. В § 6.4 мы обсудим также и этот режим.
Средняя скорость диффузии в системе со многими (неперекрывающимися)
резонансами зависит также от доли фазового пространства, занятого
резонансами.
Резонансное каналирование имеет место и в многомерных системах [405 ].
Внешняя диффузия усиливается вдоль резонансной поверхности в направлении
проекции на нее вектора резонанса3) mR.
Теннисон [405] полагает, что такого типа диффузия может быть причиной
"раздувания" встречных пучков в накопительных кольцах. Возможно также,
что подобное усиление диффузии имеет место и в различных установках
магнитного удержания и нагрева плазмы. Теннисон отметил также, что в
диссипативных системах с затуханием по обеим степеням свободы резонансное
каналирование может привести к быстрому увеличению одной из переменных
действия. Он сравнивает это с движением парусной лодки против
Ч В отечественной литературе используется также термин "диффузия
Будкера", который первым предсказал и дал оценку такой диффузии (см.
примечание редактора на с. 336 и [71]).- Прим. ред. "к <
2) В отечественной литературе он называется также режимом Галеева-
Сагдеева, которые построили теорию диффузии в этих условиях [510, 71]. В
рассматриваемой задаче такой режим имеет место только в случае многих
резонансов.- Прим. ред.
3) В отличие от двух степеней свободы усиление внешней диффузии возможно
здесь, вообще говоря, и в том случае, когда внешний шум сохраняет
энергию, например, при рассеянии частицы (см. работу [405], рис. 8).-
Прим. ред.
382
Глава 6
ветра. Представим себе, что на рис. 6.16 лодка находится в точке а и
может двигаться только вдоль линии резонанса. Пусть плоскость паруса
параллельна вектору mR, а ветер, диссипативная сила,
давит в направлении от а к Ь. Тогда если наклон линии резонанса
отрицательный, то результирующая сила будет направлена от А к В, и лодка
будет идти "на ветер" по /2, хотя при этом полная энергия системы будет
уменьшаться.
6.36. Диффузия резонанса
Модельное отображение. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17)
Jn+i = Jn + f( p)sin0", (6.3.19а>
0п+1 = 0п + 2яа(/п+1, р.), (6.3.196)
где 7,0 - канонические переменные, ар - дополнительный параметр. Вводя
периодическую 6-функцию, эти уравнения можно записать в форме
гамильтоновых дифференциальных уравнений типа (3.1.34). Пусть теперь
изменение параметра р описывается независимым уравнением
Рге+1 - ря ~Ь (6.3.20)
где ?,п - случайная переменная. Тогда в системе (6.3.19) с р = = р"+1
возникает внешняя диффузия, аналогичная описанной в п. 6.3а. Такой подход
использовался Чириковым [71 ] и Коэном и Раулэндсом [80 ] при
исследовании процессов переноса в магнитных ловушках.
Для упрощения анализа линеаризуем отображение (6.3.19) по переменным J и
р в окрестности р = р0 и неподвижной точки (Jо. 0о), положив 0" = 0 и
определив J0 из уравнения а (70, р0) =&" где k - целое число. В
результате получаем расширенное стандартное отображение:
Д + 1 - Лг -ф К sin 0П, (6.3.21а)
0/7 +1 = 0/г + Л1+1 + Р п+Ъ (6.3.216)
Рп + 1 = Рп~\- ^ > (6.3.21в)
Фг = 2л {Jп J0), dJ 0 (6.3.22а)
Рп = 2л -(р " - Ро), ар0 (6.3.226)
К = 2л/ (р0) -I dJ0 (6.3.23а)
In = 2л т (У|Л0 (6.3.236)
Многомерные колебания
383
Здесь К - параметр стохастичности; \п - нормированная случайная
переменная: (g") = 0 и (g^) = 1, а
т = / 2гот \ _2 (6.3.24)
\ др0 )
- безразмерный параметр, характеризующий случайную величину ((&) = а2).
Иначе говоря, т равно числу итераций отображения, за которое средний
квадрат Р становится равным единице:
<Р2> = п/т. (6.3.25)
Если К " 1, то резонансы перекрываются и диффузия по I •определяется
