Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
мы будем характеризовать мгновенным смещением системы из точки а в точку
b на расстояние I (рис. 6.16). При этом центр колебаний сдвигается вдоль
линии резонанса из точки А в точку В на расстояние
L = I
sin х sin ip
(6.3.2)
Рис. 6.16. Резонансное каналирование (по данным работы [405]).
Под действием внешнего шума система переходит из точки а в точку Ь, а
центр фазовых колебаний смещается из точки А в точку В.
Заемного случайных смещений среднее от sin2% будет порядка единицы, тогда
как sin ф =s const локально. В результате при ф 1 скорость диффузии вдоль
резонанса резко возрастает. Будем называть такую диффузию резонансным
каналированием. Определим коэффициент диффузии вдоль резонанса формулой
Dksh = ~Lr(L*),
где R - число случайных смещений системы в единицу времени. Сравним это с
классической диффузией по нормали к энергетиче-
Многомерные колебания
377
ской поверхности:
Отсюда
? = </2sin2:x>. (6.3.3)
А"н = -^И-. (6.3.4)
sin3
Расчет диффузии. Если коэффициент внешней диффузии D0 не зависит от
направления на плоскости (Iъ /2), то ?>хя = D0 и ?>ка" = = Z)0/sin2ip. В
случае анизотропной диффузии предположим, что тензор внешней диффузии
имеет вид
тх о \ D=(o J'
т. е. оси /х и /2 совпадают с главными направлениями D. Тогда начальное
распределение в виде 6-функции эволюционирует по закону [62]
F =-------!------ ехр Г (6.3.5)
4я* (DiDa) а V 4D1t 4D2t J
Введем новые переменные 1[, /2, соответствующие повороту осей на угол 0,
так что ось Г2 направлена перпендикулярно энергетической поверхности
(рис. 6.16). Имеем
/7 Л /со5 0 sin 0\ 7/Л \ 2/ \sin 0 COS 0 J \ 2/
Подставляя эго соотношение в (6.3.5) и интегрируя по /J, получаем
^Е'(/ь /2, t)dl[ ос ехр ^ 4EjEt~)'
где
- (D-2 + DJ2) sin2 20 + DJ1 DJ1 cos2 20
D~e = ---------------------------------------------- (6.3.7)
D[ 1 cos2 0 -f- JT>2 1 sin2 0
- коэффициент диффузии по I2. Зная D±E, из (6.3.4) находим DKaн-
Другой метод состоит в выборе таких новых переменных I,
в которых тензор диффузии становится изотропным. Иначе говоря, константы
метрики gi] нового пространства действий выбираются так, чтобы
Di! = Dog'1, (6.3.8)
где D4 - компоненты' исходного тензора внешней диффузии, а
378
Глава 6
D0 - коэффициент изотропной диффузии. Если, например,
- /1 о\
D = D0(0 36J. (6.3.9)
то новые элементы длины равны
d% = d/1/Vin = d/1,
(6.3.10)
ds2 = rf/2/V^22 = d/2/6.
После этого можно, но не обязательно, сделать формальное преобразование к
новым переменным
7i = /i, 72 = _L/2. (6-ЗЛ1>
6
В обоих случаях диффузия будет изотропной. Эти преобразования
иллюстрируются на рис. 6.17 для невозмущенного гамильтониана
Н0 = /? + /! (6.3.12)
и тензора диффузии (6.3.9). В новых переменных (6.3.11) невозмущенный
гамильтониан (6.3.12) принимает вид
Но = Ц + ~~ 71 = 7i -f- (б72)2. (6.3.13)
Pi
Замена переменных соответствует производящей функции
E2 = 017i + 60,72, (6.3.14)
откуда
0i =-^- = 0i; 02 = -^- = 602.
dl1 д1г
Старое условие резонанса coj-со2 = 0 заменяется новым
6(0[ - со2 = 0, (6.3.15)
или в переменных действия
7*-т*л/!--т- (6-ЗЛ6)
Тем самым мы фактически пришли к модели невозмущенного гамильтониана
(6.1.7). Используя (6.3.13) и (6.3.16), находим sin2i|) = = 4D1D2I(D1 +
D2)2 и соответственно величину коэффициента диффузии центров колебаний в
пространстве новых переменных
1______Ркан_____(Pi 4~ Ра)2 ^ g g
sin2 If Dq 4PiPa
Скорость диффузии в исходных переменных получается с помощью обратного
преобразования переменных.
Многомерные колебания
379
Следуя Теннисону [405], рассмотрим пример резонансного каналирования для
гамильтониана
Я = 1\ + (6/2)2 + F* cos (6Or-02) (6.3.17)
а
Б
6
Рис. 6.17. Изменение масштаба и преобразование переменных для перехода к
изотропной диффузии (см. текст).
Прямая линия - резонаис связи; пунктирная линия - линия постоянной
энергии.
с VR = 10~5. Будем считать, что внешний шум вызывает периодические (с
периодом Т ~ 1) смещения Д/2 = 0, Д/2 = 10~5 sin гп, где гп - случайные
числа, равномерно распределенные в интервале (0, 2л). На рис. 6.18
показаны последовательные положения системы, усредненные по интервалам At
= 500 и соединенные пря-
380
Глава 6
мыми линиями. Начальные условия (точка / на рис. 6.18) выбирались на
линии резонанса (пунктирная линия). В процессе диффузии траектория в
конце концов выходит из резонанса и оканчивается в точке F. Диффузия
вдоль резонанса и есть резонансное каналирование. Движение под острым
углом к резонансной линии связано с прохождением резонанса (ср. рис.
5.17). Оно идет почти
Рис. 6.18. Резонансное каналирование для модели (6.3.17) (по данным
работы [405]).
Ломаная линия - численные данные для траектории движения, усредненной на
интервалах At " 500 як ЗТ0, где Т0 - период малых фазовых колебаний; I, F
- начальная и конечная точки траектории; пунктирная линия - линия
резонанса.
вдоль линии постоянной энергии. Наконец, вертикальное движение по обе
стороны от точки F есть результат медленной классической диффузии по /2
