Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
резонансов в мультиплете.- Прим. ред.
Многомерные колебания
373
Здесь сумма по / ограничена 6-функцией в (6.2.67):
(c)2 Л)
/ =
При изменении /0 от - Ш до Ш целое / изменяется от
(6.2.68)
до бесконечности. Аргумент функции Бесселя в (6.2.666) обычно мал *), так
что доминирующим является член с / = /. Опуская остальные члены и
усредняя по %0, получаем окончательный результат
2,. 2
ею;
ft
(ю2 -f Ш)2
(6.2.69)
D(co2) = -
v 2 (/ + 1)Ш
С ростом со 3 величина I изменяется скачками, как это следует из
(6.2.68). Соответственно график зависимости D(co2) имеет вид серии
убывающих "плато" (рис. 6.15). Основное плато (I - 0) соответствует
частотам 0<со2<;М2, а остальные расположены в интервалах
(2/-l)M2"o2<(2f+l)M2. (6.2.70)
На основном плато 1 и коэффициент диффузии
2, .2
ею;
(6.2.71)
Относительно большая скорость диффузии объясняется тем, что внутри
модуляционного слоя (см. рис. 6.12) выполняется условие точного резонанса
сох = /0 = со2.
На рис. 6.15 представлены численные значения приведенного коэффициента
диффузии
?>" =------5-----, (6.2.72)
(е2ю2/Дсо)
как функции со2/Д(о. Здесь вместо М2 использована фактическая полуширина
модуляционного слоя Дсо " 1,3 М2, К - 10, ?2 = = 10-2, k = 5 х 10~4. Ясно
видно основное плато со средним значением Dn = 1,6, что хорошо
согласуется с величиной л/2 из
(6.2.71). При (02>Д"в скорость диффузии резко падает, а затем, с ростом
со 2, уменьшается ступенчатым образом. Это как раз то, что предсказывает
теория (6.2.69).
Для количественного сравнения с численными результатами необходимо
определить параметр R. Это было сделано путем под-
1) Если k 5^ k1 ~ Q2X773 [см. (6.2.69), 173], что почти совпа-
дает с границей слияния резонансов мультиплета (6.2.54).- Прим. ред.
374
Глава 6
гонки формулы (6.2.69) к численным данным на краю двух последних плато (1
= 2, I = 3). Подставив найденное значение R 5,3 в (6.2.69), получим
зависимость Dn (со2/Дсо), представленную на рис. 6.15 сплошной линией.
Если учесть, что в теории использовалось существенное упрощение (6.2.63),
согласие можно считать
ш2/Дш
Рис. 6.15. Зависимость приведенного коэффициента диффузии Dn от величины
ш2/До).
Точки - численные данные; сплошная линия - теория (6.2.69); Я, = 10; Q -
10 2; к = 5 X 10-4; Ди = 1,3 М2.
вполне удовлетворительным. Отметим, что теория предсказывает резкий спад
Dn(со2) после каждого плато и что все плато, кроме основного (I = 0),
имеют некоторый наклон. В пределах каждого плато скорость диффузии
спадает по закону
Многомерные колебания
375
где последнее выражение относится к / > 1. Все эти предсказания находятся
в разумном согласии с численными данными *).
§ 6.3. Внешняя диффузия
Рассмотрим движение системы, близкой к интегрируемой, под действием
внешнего шума. Резонансы в системе могут значительно усиливать внешнюю
диффузию. В п. 5.56 мы уже познакомились с примером такого усиления
классической диффузии за счет прохождения резонанса (см. рис. 5.17).
Ниже мы рассмотрим усиление классических процессов переноса вдоль
резонансов. Усиление возможно даже для автономной системы с двумя
степенями свободы в том случае, когда внешний шум не сохраняет энергию, и
система может двигаться вдоль резонансов. Такой процесс был исследован
Теннисоном в работе [405 ], основные результаты которой и представлены в
п. 6.3а. Родственный процесс диффузии самого резонанса был рассмотрен Чи-
риковым [71 ] и Коэном и Раулэндсом [80] (п. 6.36) 2).
6.3а. Резонансное каналирование диффузии 3)
Геометрическая картина. Вернемся к гамильтониану (6.1.7)
Яо = ;1 + (6/2)2-
резонансные и энергетические поверхности (линии) которого показаны на
рис. 6.2. На рис. 6.16 в увеличенном масштабе изображен участок рис. 6.2,
ограниченный пунктиром. Введем резонансное возмущение
= /2)008(60!-00. (6.3.1)
Вектор единственного резонанса tnR = (6, - 1) определяет направление
фазовых колебаний вдоль невозмущенной энергетической поверхности, как
показано на рис. 6.16. Пунктиром показана полная ширина резонанса,
ограничивающая максимальную амплитуду фазовых колебаний. Центр колебаний
лежит на линии резонанса в точке А.
х) Как и в случае диффузии Арнольда, здесь существует область Нехо-рошева
(п. 6.2в), в которой диффузия идет под действием комбинационных
резонансов высоких гармоник. Для модуляционной диффузии такой режим
наблюдался, по-видимому, в численных экспериментах [513].- Прим. ред.
2) Отметим также, что описанная выше модуляционная диффузия, и особенно
диффузия Арнольда в тонком слое, становится практически интересной только
в присутствии (слабого) внешнего шума, который распространяет такую
диффузию на все начальные условия. Можно сказать также, что средняя
скорость внешней диффузии резко возрастает за счет диффузии в
стохастических слоях (см. [70, § 7.7]).- Прим. ред.
3) Авторы используют термин "resonance streaming" (резонансное течение).-
Прим. перев.
376
Глава 6
Рассмотрим теперь влияние не сохраняющего энергию внешнего шума, который
