Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 130

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 742 >> Следующая

/(0=7 C-°SVt ------cosmvt, (6.2.45)
1 - C cos vt a
m
где a ^ (1-C2)1/2 1. Чтобы выделить наиболее важную экспо-
Многомерные колебания
365
ненциальную зависимость, вычислялась приведенная [по (6.2.44)] скорость
диффузии D*, согласно формуле 1),
п2х2ма2
D - У-Е и*.
со j 1п (32е/ад)
Зависимость lg D* от Q0 в широком диапазоне показана на рис. 6.11 для
(Од. = (йу = 4,5 v и ст = 0,1. Аналитическая зависимость (6.2.44)
(пунктирная кривая) для трех резонансов (сох = 4v, со* =5v, сох = юь)
хорошо согласуется с численными данными при малых Qo, однако очень сильно
занижает скорость диффузии для больших Q0.
Это расхождение можно объяснить влиянием резонансов высоких гармоник mv =
k(ax, в частности, за счет следующих членов разложения (6.2.31). Хотя их
амплитуды малы, они расположены близко к резонансам cox = соу = 4,5 v, т.
е. для них расстройка бсо = mv~ku)x тоже мала и эффективное Q0 1.
Приняв зависимость D* (Q0) в виде
D* - А ехр (-BQo), (6.2.46)
где А, В и у - подгоночные параметры, Чириков и др.
[72] получили из численных данных значение у " 1/2, т. е.-lg
D ос p.- /f.
Верхняя оценка Нехорошева [314 ] приводит к существенно меньшей величине
у (см. [70]). Для гамильтониана общего вида с N степенями свободы
Н (/, 0) = Яо(/) + рЯ (/, в),
где р. - малый параметр, а функция Н0 (/) при | /1 ->- 0 является
положительно определенной квадратичной формой 2), оценку Нехорошева можно
записать в виде
|/|< |ю|-|/|р1+'?ехр(-1/р"), (6.2.47а)
q (N) =------------. (6.2.476)
' ЗУ2 - IV+ 8
Так как Q" ос 1/(c)! ос р_1/2, то у = 2q. Полагая в (6.2.476) N = 3,
находим у = 1/8. Это приводит к слишком медленному уменьшению скорости
диффузии с р и не согласуется с численными результатами на рис. 6.11. По
мнению Чирикова [70], более правильная оценка соответствует3) q = UN. При
N - 3 это приводит к значению у = 2/3, которое находится в разумном
согласии с численными результатами.
0 В работе [72] использовалась несколько другая нормировка D*.- Прим.
ред.
2) Менее жесткое, но тоже достаточное условие состоит в том, чтобы
энергетические поверхности HQ(I) = const были всюду выпуклыми (см.
[512]). Примером может служить гамильтониан (6.2.29).- Прим. ред.
3) Упрощенный вывод этого соотношения см. в работе [69].- Прим.
ред.
366
Глава 6
6.2г. Модуляционная диффузия
Обратимся теперь к модуляционной диффузии, при которой хаотическое
движение происходит вдоль системы перекрывающихся резонансов, вызванных
медленной модуляцией возмущения. Следуя Чирикову и др. [76], рассмотрим
модельный гамильтониан
Н = ~l\-^cos(01 + ^sinQ^) -f -/ 2 - ecos(0x-02), (6.2.48)
U) ->
Рис. 6.12. Схема резонансов при модуляционной диффузии.
где X и ?2 - амплитуда и частота фазовой модуляции соответственно, а е -
малый параметр связи. Используя разложение
ОО
cos (01 -f X sin Qt) = 2 /я^соз^ + пШ), (6.2.49)
п - - оо
получаем мультиплет резонансов с центром в со1 = /1 = 0 и эффективной
шириной приблизительно 2Q, так как функции Бесселя fn (Я) быстро убывают
при \п\ > X. Мультиплет показан на рис. 6.12 в виде нескольких
вертикальных линий на плоскости частот со j, ю2. Если резонансы
мультиплета перекрываются, то возникает широкий стохастический слой, по
которому и идет модуляционная диффузия.
Многомерные колебания
367
Перекрытие в мультиплете. Движение внутри мультиплета описывается
гамильтонианом
Н = 4- I*-k у ?п (X) cos (0, + nQt). (6.2.50)
2 п х
Действуя, как и в п. 2.4а, получим G - 1 и F = k fn (X). Полная ширина
сепаратрисы для каждого из резонансов мультиплета определяется формулой
(2.4.31)
2А/маКс = 2Асомакс = 4 (FIG)'J = 4 Уk \fn (X) [. (6.2.51)
Расстояние же между резонансами по частоте равно бсо = Й. Используя
правило двух третей (п. 4.16) х), запишем условие перекрытия
2Асомакс^ (6.2.52)
Q 3
Подставляя (6.2.51) в (6.2.52) и принимая в качестве /" (X)
среднеквадратичное значение (пХ)~1/2, приводим условие (6.2.52) к виду
k>Q2^X/20. (6.2.53)
Если движение, описываемое гамильтонианом (6.2.50), связано с третьей
степенью свободы, то неравенство (6.2.53) есть также условие
модуляционной диффузии. Если же возмущение меньше этой границы, то
остается только диффузия Арнольда. Отметим неожиданное следствие оценки
(6.2.53): чем меньше частота модуляции, тем ниже граница перекрытия по
возмущению (k сс й2). На первый взгляд это противоречит нашей интуиции об
адиабатических возмущениях, согласно которой с ростом отношения частот
влияние резонансов уменьшается 2). Это противоречие разрешается, если
принять во внимание, что стохастичность связана с прохождением резонанса,
а это происходит только дважды за период модуляции 2я/Й. Поэтому при Й ->
0 скорость диффузии также стремится к нулю.
Отметим, что поскольку ширина мультиплета уменьшается с уменьшением й при
заданном X, то при
k>Q2X"4l3] (6.2.54)
ширина ЯЙ<Лсомакс. В этом случае весь мультиплет сливается в единый
резонанс 3), а скорость диффузии по стохастическому
!) В данном случае это правило не улучшает точность оценки, поскольку
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed