Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 129

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 742 >> Следующая

Переход к переменным действие-угол. Перейдем прежде всего к переменным
действие - угол невозмущенной системы (р = е =0). Невозмущенный
гамильтониан
Р2 р2 х4 "4
Я0 = --(6.2.26)
2 2 4 4
описывает два независимых осциллятора с сохраняющимися энергиями Ех и Еу.
Выражение для переменной действия получается обычным образом
хм
'¦=-L§r,'dx=ir\ (2?->"'(i-жТ*1- <6-2-27)
о
где хм = (4Ех)4' - амплитуда х-колебаний. Вводя новую переменную ? =
х/(4?'л.)!/' , получаем
/* = - ?** J(1 -I4)'* ^ = -1^?*'Х(1/л/2), (6.2.28)
ЗХ о 071
где Ж (1/д/2) " 1,85 - полный эллиптический интеграл первого рода.
Соотношение (6.2.28) устанавливает связь между переменной действия I и
энергией Е для каждого из осцилляторов^ ос //з). Отсюда новый
невозмущенный гамильтониан
Я0 = Л(/^+/^), (6.2.29)
где
Зя Vs 0,87.
\ 41/2 Ж (1/У"2) Частоты колебаний равны
дНп л 1 -
° 4 Ah:у. (6.2.30)
д!х, у 3
Решение выражается через эллиптические функции (см., например, [70]) и
имеет вид
ОО
x(t) , я Л/ 2 cos [ (2п - 1) соР
-^-СП(шО = ^77?7=г V- J ~
Хм -ж {му 2) ch [я (п - 1/2)
п=1
362
Глава 6
л лг; j . COS 3<В< COS Scot //> л ol\
Л! 0,95 cos cot 4--------+-----------4- .... (6.2.31)
(23 ^ (23)2 т 4 '
Независимо от амплитуды колебаний вклад гармоник очень мал и мы можем
сохранить только первый член этого разложения. Введя угловую переменную в
= cot, запишем полный гамильтониан в виде
Н = А (/> + //)-р,хм (/*) ум (/у) cos 0* cos ву-
-ехм (/х) cos exf (t), (6.2.32)
где
*м = (4Л)' ' I/, ум = (4A)'U Q (6.2.33)
- амплитуды колебаний, полученные из сопоставления (6.2.26) и (6.2.29).
Вблизи резонанса связи разность 0*-0Й является медленной функцией
времени. Перейдем поэтому с помощью производящей функции
Fi - (0*-0(/) + (9* + 0") ^ 2 к новым переменным:
Ф1 = 0л:-0у> Фа= 0* 0j/- (6.2.34а)
Тогда
/*==-^ = /1+/2> ^ = -?*- = ~^х + /,. (6.2.346)
C/U*
В окрестности резонанса связи 1Х ж 1У, так что 1Х <С /г- Выражая
гамильтониан (6.2.32) через новые переменные (6.2.34) и разлагая
невозмущенную часть по 1Ъ получаем выражение для нового гамильтониана
K = 2AIiaA--j-Gfi-У cos фх-У cos ф2 - гхи (7а) х
X cos ^ )/(/), (6.2.35)
где
G (1г) = -~ Alt'3, (6.2.36)
Т7 (/ 2) = - № (^2) Ум (h) • (6.2.37)
Усреднение по быстрой фазе фа дает
(K) = 2Al? + -±-Gli-Fcosy1. (6.2.38)
Отсюда видно, что /2 " const, ю2 = 2С0*, а переменные /ь
Многомерные колебания
363
совершают медленные колебания на резонансе связи с частотой (для малых
колебаний)
к"! = л/FG ос Vm- (6.2.39)
Взаимодействие трех резонансов. Пусть внешняя сила имеет вид
f (t) = cos Q±i -f cos Q2i, (6.2.40)
причем обе частоты близки к резонансу и удовлетворяют неравенству
6ю = (со* - Q2)>(Qx-сод.) ^>0, (6.2.41)
т. е. частота со* находится между и й2. Будем считать, что эти два
резонанса и определяют поведение системы, причем более сильный х)
резонанс (с частотой йх) возбуждает движение поперек стохастического
слоя, а более слабый (с частотой й2) вызывает диффузию Арнольда вдоль
слоя. В этом случае диффузию Арнольда удается рассчитать сравнительно
просто (см. работу [70, § 7.5]). Нелинейность приводит также к резонансам
в высших порядках, однако их вклад в диффузию очень мал. Опуская
поэтому член
F cos ф2 в (6.2.35), представим гамильтониан в виде суммы
K = K± + KV
где
К± =~-Gl\-Fcos^j - гхм cos ^ Мг-j cos?V, (6.2.42)
Ац =2А1'2'-ехм cos ^ j cos,Q2t. (6.2.43)
Эти выражения аналогичны соответственно (6.2.11) и (6.2.66), и для
определения скорости диффузии Арнольда по величине dKн Idt можно
использовать тот же метод. В результате находим [70 ]
2х%а>1 e~KQ°
D = У-JL. - ----------------, (6.2.44)
(?>х 1п (32e/aij)
где
Qo = бю/(r)!.
Для модельной задачи в п. 6.16 получается аналогичное выражение [273 ],
хотя вывод его значительно сложнее. Скорость диффузии экспоненциально
уменьшается с увеличением расстройки (6ю) и уменьшением связи ((r)i).
Подчеркнем, что найденная скорость диффузии является локальной и
изменяется в процессе диффузии.
1) Имеется в виду меньшая расстройка по частоте.- Прим. ред.
364
Глава 6
6.2в. Много резонансов
До сих пор при анализе диффузии Арнольда учитывались только три
резонанса. Пока возмущение не слишком мало, полученные аналитические
оценки хорошо согласуются с результатами численного моделирования. Однако
для достаточно малого возмущения
-10-
лЬ
Рис. 6.11. Зависимость приведенной скорости диффузии'Арнольда D* от Qe
(по данным работы [72]).
Точки - численное моделирование; пунктирная линия - теория в приближении
трех резонансов.
теория значительно занижает скорость диффузии, поскольку в этом случае
существенно взаимодействие многих резонансов. Такой режим диффузии
называется областью Нехорошева по имени советского математика, впервые
получившего строгую верхнюю границу для скорости диффузии Арнольда [314].
Однако его оценка существенно завышает, вообще говоря, порядок
действительной скорости диффузии.
Взаимодействие многих резонансов исследовалось аналитически [70 ] и
численно [72 ] для модели (6.2.24) с силой
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed