Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
системах были выполнены Фрёшле и сотр. 2). В частности, в работах Фрёшле
[139, 140] исследовалось число изолирующих интегралов движения в системах
с тремя степенями свободы. Оказалось, что в зависимости от начальных
условий существуют либо два интеграла, либо ни одного (кроме энергии).
Этот результат находится в согласии с гипотезой Арнольда, что движение
происходит либо по инвариантному тору, либо по стохастическим слоям. Это
значит, что в общем случае N степеней свободы имеется либо N-1, либо ни
одного интеграла движения, кроме энергии. Аналогичные соображения
высказывались Фрёшле [139] и были подтверждены численными экспериментами
[141-143] для Ат = 3 и N = 4.
Модельная задача. Рассмотрим трехмерные колебания шарика между двумя
упругоотражающими неподвижными стенками, одна из которых плоская (г = И),
а другая (г " 0) - гофрированная как по х, так и по у (рис. 6.4, а).
Положение системы на четырехмерной поверхности сечения задается
значениями координат хп и уп и углов а" - arc tg (vx!vz) и [3" = arc tg
{vjv^ непосредственно перед ri-м отражением от гофрированной стенки, где
v - вектор скорости шарика (рис. 6.4, б). Считая гофрировку слабой (а /г,
ak <<( 1), можно записать упрощенное отображение (ср.
и. 3.4а) в явном виде
ал+1 = а" - 2axkx sin kxxn -f ykxyc,
xn+1 = xn + 2htgan+1, (6.12a)
1) Основная трудность здесь - получение достаточно эффективных
аналитических критериев неинтегрируемости, поскольку в полностью
интегрируемой системе диффузия Арнольда, конечно, отсутствует (см.
примечание редактора на с. 315). Одним из возможных критериев является
пересечение сепаратрис, которое было открыто и использовалось еще
Пуанкаре [337, и. 226] и интенсивно изучается в последнее время (см.,
например, [197, 479, 480, 483, 484, 511 ]). Однако использование этого
критерия ограничено в самом интересном (для диффузии Арнольда) случае
очень слабого возмущения (см. примечание редактора на с. 240).- Прим.
ред.
2) Это, конечно, не так. Достаточно вспомнить знаменитую работу Ферми,
Паста и Улама [127], в которой фактически наблюдалось и хаотическое
движение (см. рис. 5-7), хотя основное внимание авторов было привлечено к
регулярным колебаниям в многомерной нелинейной системе. Хаотический
аспект этой задачи исследовался позднее во многих работах (см., например,
[135, 208]).- Прим. ред.
Многомерные колебания
349
Pn+i - Ря - 2ауЬу sinkytjn + l^kyyc, ^ j ^25^
Уп+1 = Уп ~Ь 2/г tg Pn+i-
Здесь yL- - sin (kxxn kyyn), ax, au - амплитуды гофрировки только по х и
только по у соответственно, ар - удвоенная амплитуда косой гофрировки,
связывающей движение по х и у.
ГлаЭкая стенка
5
Рис. 6.4. Модельная задача (по данным работы [406]).
а - колебания шарика между гладкой и гофрированной стенками; б проекция
движения на плоскость {х, г).
Если р = 0, то отображение (6.1.12) описывает независимое движение в
плоскостях (лг, z) и (у, г). На рис. 6.5 показаны различные траектории на
поверхности сечения (а, 6). Мы видим обычную картину для систем с двумя
степенями свободы: резонансные и нерезонансные инвариантные кривые и
стохастические области. Центр целого резонанса при а = 0 = 0
соответствует устойчивым колебаниям шарика вдоль оси г в одном из
минимумов "потенциальной ямы" стенки. Инвариантные кривые вокруг этого
центра соответствуют "адиабатическим" колебаниям вдоль оси х, медленным
по сравнению с колебаниями по г. Имеются две основные стохастиче-кие
области. Толстый стохастический слой расположен в районе
350
Глава 6'
а " + л/2. Он возникает вследствие перекрытия целых резонансов, при
которых за один период колебаний по г траектория проходит несколько
периодов гофрировки по х, как показано на рис. 6.5. Тонкий стохастический
слой, отделенный при данных значениях параметров от толстого слоя
инвариантными кривыми, расположен в окрестности сепаратрисы целого
резонанса а - 0. Движение
-Ж 0 гг
в
Рис. 6.5. Фазовая плоскость (а, 0) модели (6.1.12) (по данным работы
[406]).
й - 0; 0 kxx\ отношение \ h \ ах равно 100 : 10 : 2; ).х =- 2л /? : 13
траеморип no 101 итерации.
в нем происходит вблизи максимума потенциальной ямы гофрированной стенки
и охватывает как колебания, так и пролет в соседние ямы.
Типичный пример диффузии Арнольда в присутствии связи показан на рис.
6.6. Четырехмерная поверхность сечения (а, х, (3, у) представлена здесь
двумя проекциями (а, х) и ((3, у), которые для удобства совмещены на
рисунке. Начальные условия выбраны внутри резонанса по л и в пределах
тонкого стохастического слоя по у. Численное моделирование показывает,
что движение по у остается внутри стохастического слоя, пока колебания по
.т не достигнут своей сепаратрисы. Последовательные стадии диффузии по х
под действием стохастических колебаний по у показаны на рис. 6.6, б-г.
Это и есть диффузия Арнольда, поскольку на поверхности сечения она идет
вдоль стохастического слоя резонанса по у. При дальнейшем движении
диффузия охватывает большую часть
