Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Н = Н0(1)-ггН1([, 0), (614)
Hi = Екд/)^'й,
k
где суммирование производится по всем ш*. Уравнения Гамильтона для /
имеют вид
/=- дНт= - ге ? tnkVkemk'Q. (6.1.5)
к
Следовательно, каждая компонента возмущения возбуждает колебания / в
направлении ntu- Для большинства компонент колебания не будут
резонансными, т. е. т*-0 (t) Ф const, поэтому соответствующая амплитуда
колебаний/ будет порядка е. Однако для некоторых k = R возможен резонанс:
mR-%(t) = Qr = const, (6.1.6)
где Qr - резонансная фаза. Тогда амплитуда колебаний в направлении mR
имеет порядок е'/2 (§ 2.4).
В качестве примера на рис. 6.2 изображены некоторые из резонансных и
энергетических поверхностей для гамильтониана
Я0 = /?^(6/2)2. (6.1.7)
В этом случае, согласно (6.1.3), резонансными поверхностями являются
линии:
mJx -г 36т2^2 = 0. (6.1.8)
Отметим, что так как при резонансе
mR-^- = 0, (6.1.9)
то вектор tnR лежит на невозмущенной энергетической поверхности. Вообще
говоря, вектор tnR не перпендикулярен резонансной поверхности (см.
пунктирный прямоугольник на рис. 6.2). Именно в этом случае резонанс
существенно усиливает действие внешнего шума (§ 6.3). Из рис. 6.2 видно
также, что резонансные поверхности не пересекаются на поверхности
постоянной (ненулевой) энергии. Эта особенность типична для систем с
двумя степенями свободы .
Многомерные колебания
345
Для трех и более степеней свободы резонансные поверхности, вообще говоря,
пересекаются, как показано на рис. 6.3, а для гамильтониана (6.1.2) с N =
3. Резонансными поверхностями являются здесь плоскости, проходящие через
начало координат и пересекающиеся по прямым линиям. Они пересекают также
сфери-
Л
Рис. 6.2. Линии резонансов (прямые) и линии постоянной энергии (эллипсы)
для гамильтониана (6.1.7) (по данным работы [405]).
Числа на прямых - значения mt в (6.1.8) при т2 - 1. Обведенная пунктиром
область показана в увеличенном виде на рис. 6.16.
ческие поверхности постоянной энергии Н0 (/) = а и пересекаются между
собой на этих поверхностях. В местах пересечения возможны переходы с
одного резонанса на другой. Пересечения резонансов с энергетической
поверхностью образуют сложную единую сеть, или паутину Арнольда, часть
которой показана на рис. 6.3, б для резонансов с | т,- \ ^2.
В 2А-мерном фазовом пространстве резонансы (6.1.3)'образуют (2N-1)-мерные
поверхности. Инвариантные же поверхности, определяемые соотношением / =
const, являются А-мерными. Уело-
346
Глава 6
Энергетическая
б
Рис. 6.3. Топология диффузии Арнольда.
а -диффузия (волнистая линия) переходит годной резонансной поверхности на
другую по линии пересечения их с энергетической поверхностью (по данным
работы [276]); ^--"паутина" Арнольда на энергетической поверхности;
показаны только некоторые из резонансов (по данным работы [406]).
Многомерные колебания
347
вие пересечения стохастических слоев можно получить теперь геометрически.
Если N > 3, то (2N-1)-мерные резонансные поверхности не изолированы друг
от друга Димерными инвариантными поверхностями (см. рис. 1.16). Схема
стохастического слоя представлена также на рис. 1.17, где резонансная
переменная IR J1 характеризует фазовые колебания на резонансе, а
остальные (Л'-1) переменные действия представлены величиной /2 = /5 и
описывают движение вдоль слоя.
Особенность движения вдоль стохастического слоя можно пояснить следующим
образом. Пусть полная энергия сохраняется, так что
АЯ = АЯо + еЯ1 = 0, причем для резонансной переменной
А/я~ е'/;. (6.1.10)
Тогда для трех степеней свободы
л т дН0 д j дНо Л т /с 1 1 1\
-7-A Ir- --A7s 1+ ----------------A/s~8. 6.1.11)
51 r a/Sl dls2
Изменения переменных Is, и Is3 вдоль слоя могут быть большими и
ограничены [с учетом (6.1.10)] только условием
дН" .д/ч +_^2_д/?
51 Si 1 51s2
В случае же двух степеней свободы (А/$2 = 0) из (6.1.10) и (6.1.11)
следует
A/S~e\
т. е. смещение вдоль стохастического слоя мало.
¦ 6.16. Примеры диффузии Арнольда
Возможность неограниченного движения вдоль резонанса доказана Арнольдом
[12] на примере гамильтониана
Я = (/д + /|) -f е (cos QR - 1) (1 + р, sin 0S + p cos t).
При p = 0 и e Ф 0 существуют два интеграла движения:
1 2
HR = - /д-j-ecos 0д = const,
причем последний из них описывает резонанс. Возмущение (р Ф 0) приводит к
образованию стохастического слоя вокруг сепаратрисы этого резонанса. Так
как возмущение изменяет как IR, так и Is, то возникает хаотическое
движение вдоль стохастического слоя (по Is). Роль третьей степени свободы
играют здесь переменные t и - Я (п. 1.26).
348
Глава 6
Арнольд высказал предположение, что движение вдоль резонансов является
типичным свойством многомерных нелинейных колебаний, однако строгое
доказательство этого отсутствует х). Недавно Холмс и Марсден [197],
используя метод Мельникова [299] (см. § 7.3 ниже), показали существование
диффузии Арнольда у большого класса гамильтоновых систем, близких к
интегрируемым.
Первые численные эксперименты по хаотическому движению в многомерных
