Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
п С (2/К)2 эти траектории должны начинаться и заканчиваться в точке т =
0, q = 0. В результате они получили
где Dx = К2/4- квазилинейный коэффициент диффузии. Для определения
поправок к Dn было проведено численное суммирование по многим фурье-
траекториям. На рис. 5.16 эти результаты (сплошные кривые) сравниваются с
данными численного моделирования (кружки). Для малых К значения D
сходятся к (5.5.9), а для больших К величина D не зависит от ст. Для нас
представляет интерес область К-< 1, где инвариантные кривые препятствуют
развитию внутренней глобальной стохастичности.
Стохастическое движение и диффузия
339
Качественно эти результаты можно получить из следующих простых
соображений (рис. 5.17). Прежде всего заметим, что изменение фазы 0 на
величину I фф 1 приводит, как это следует из
(5.5.3), к изменению действия
6/ = | /mcos0|?. (5.5.10)
Усреднение по распределению (5.5.4) и по 0 дает
((81?) = -i- I2ma. (5.5.11)
Принимая /," " К/2, получаем коэффициент диффузии
D^((8I?) = -^a, (5.5.12)
что совпадает при малых а и К с (5.5.9) 1).
Вообще говоря, необходимо еще учесть усиление диффузии на резонансах.
Пусть, например, траектория попадает под действием шума в стохастический
слой целого резонанса в точке А, затем идет вдоль слоя А ->¦ В (В') -> С'
и покидает резонанс в точке С'. Если полупериод фазовых колебаний Т
(3.5.23) мал по сравнению с 1'п (что справедливо для малых пи К ~ Т ~ 1),
то область фазового пространства, в которой идет диффузия, сокращается на
ширину резонанса. Заметим, что диффузия траектории А С' может идти либо
наружу от резонанса, как рассмотрено выше, либо внутрь резонанса. В
последнем случае средняя скорость диффузии падает. Таким образом,
имеются две группы траекторий:
быстрые, проходящие резонанс, и медленные, которые захваты-
ваются в резонанс. В качестве простой оценки примем, что отношение
средних скоростей диффузии для двух групп траекторий обратно
пропорционально квадрату интервала диффузии
-2л)'г2ч~' (5.5.13)
Ds (2л - 2К ) V '
где, согласно (4.1.29), ширина целого резонанса на рис. 5.17 равна 1 /2 *
2К , и мы пренебрегаем влиянием других резонансов. Примем далее, что
половина траекторий, попадающих на границу резонанса (в точке А),
совершает полпериода фазовых колебаний (от А до С') и половина из них
выходит из резонанса (в точке С'). Таким образом, четверть всех
траекторий проходит резонанс и попадает в группу быстрых траекторий.
Эффективный коэффициент диффузии равен
Яэфф = 4- Df - (5.5.14)
4 4
Используя для Ds выражение (5.5.12), получаем с учетом
(5.5.13)
результат, показанный на рис. 5.16 пунктирной кривой. Несмотря
на грубость оценки, она дает разумные значения даже для К > 1,
1) Приведенная оценка справедлива лишь по порядку величины, и ее
совпадение с (5.5.9) случайно [см. ниже (5.5.18)].- Прим. ред.
340
Глава 5
где внутренняя стохастичность становится глобальной. Связано это с тем,
что если К незначительно превышает критическое значение К = I, то средняя
скорость диффузии по-прежнему определяется шумом, поскольку внутренняя
диффузия является очень медленной. Другой более эффективный механизм
усиления внешней диффузии резонансами будет рассмотрен в п. 6.36.
Усреднение коэффициента диффузии. Согласно оценке (5.5.14), средняя
скорость диффузии близка к медленной между резонансами, если только они
не занимают значительную часть фазового пространства. Это связано с
непрерывностью диффузионного потока, так что градиент плотности больше
там, где локальная скорость диффузии меньше, и обратно. Рассмотрим
некоторый стационарный поток Г в области Л/ с переменным коэффициентом
диффузии. В каждом небольшом интервале с постоянной скоростью диффузии
имеет место следующее соотношение для функции распределения Р:
-T = D(I)-^-^(D)(^~y (5.5.15)
Последнее равенство определяет средние по области значения D и dPldl.
Таким образом,
1 dP 1 1 dP х (5.5.16)
(D) dl D (/) \ dl
и усреднение по интервалу Д/ дает
1 1 Г dp / dP \ 1 Г dl
ж
ф) М ) dl \ dl / А/ J D (/)
или
1 1 г dl
Ф) Д/ J D(I)
АI
(5.5.17)
Это соотношение показывает, что (D) определяется в основном теми
областями, в которых величина 1/D максимальна, т. е. D (/) минимальна.
Возвращаясь к оценке скорости медленной диффузии (5.5.12), мы видим, что
ее можно сделать более аккуратно, если найти зависимость /," (/) и
усреднить по I:
2л
1 1 1* dl (5.5.18)
W 2л ±р(/)а
J 2
о
В заключение подчеркнем различие между усреднением диффузии по различным
траекториям и усреднением по фазовому пространству. В первом случае
усредняется сам коэффициент диффузии D, а во втором - его обратное
значение 1 ID.
Глава 6 МНОГОМЕРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
*§ 6.1. Резонанс многомерных колебаний
В системах, близких к интегрируемым, резонансы окружены, как мы уже
знаем, стохастическими слоями. Однако в случае двух степеней свободы
сохранение энергии ограничивает движение вдоль слоя. В поперечном же
направлении слои изолированы друг от друга инвариантными поверхностями.
