Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
335
Указанное обстоятельство позволяет получать миллионы итераций отображения
без значительной диффузии инвариантных кривых 1). Тем не менее эта
диффузия налагает некоторые ограничения на точность определения границы
стохастичности.
Для двумерных отображений Либерман и Лихтенберг [274 ] численно
исследовали медленную диффузию под действием шума на примере упрощенного
отображения Улама (3.4.4):
где Дф - дополнительный случайный сдвиг фазы. Если Дф принимает любые
значения во всем интервале [0, 1 ], то движение сведется к случайным
блужданиям независимо от динамического фазового сдвига М/ип+1. Именно это
и наблюдалось при численном моделировании. Для Дф С 1. что соответствует
слабому случайному возмущению, области устойчивости также постепенно
заполняются траекторией. Это, однако, происходит значительно медленнее,
чем само движение в этих областях. На рис. 5.15 показан пример такого
движения для-0,005< Дф<0,005. При таком слабом шуме время диффузии в
глубь островков устойчивости значительно превышает период колебаний
внутри них. Как видно из рис. 5.15, мелкие островки почти заполнены
траекторией, а крупные - лишь немного деформированы. Интересно отметить,
что более заполненные зоны возникают внутри устойчивых областей. Это
является следствием временного "захвата" траектории в этой области под
действием шума. Такие зоны повышенной плотности появляются и в
стохастической компоненте вокруг островков устойчивости. На достаточно
большом временном интервале, определяемом статистикой заполнения, все эти
неоднородности должны исчезнуть.
5.56. Диффузия в присутствии резонансов
За достаточно большое время резонансы могут оказать сильное влияние на
диффузию даже под действием слабого шума. Так, например, если в системе
есть большие (неперекрывающиеся) резонансы, то малое внешнее возмущение
может перевести траекторию с нерезонансной инвариантной кривой на
резонансную. Пусть время между внешними "толчками" велико по сравнению с
периодом фазовых колебаний. Тогда следующий толчок может произойти уже
Т Пример подобной диффузии вследствие ошибок округления приведен в работе
[73, § 5]. Любопытно отметить, что скорость диффузии'оказалась на два
порядка меньше, чем для случайных ошибок той же величины.- Прим. ред.
Фя+1 = Фя + М/"я+1-г Дф. mod 1,
""+1 = 1 "п-Ьфп- 1/21,
(5.5.1а)
(5.5.16)
336
Глава 5
на другой стороне резонанса. При этом характерный коэффициент диффузии в
окрестности резонанса значительно возрастет *):
D - (А/)2/'т, (5.5.2)
где А/ - ширина резонанса, а т - время между двумя случайными толчками.
Однако если значительные области фазового пространства не содержат
больших резонансов, то, как будет видно, малая скорость нерезонансной
диффузии существенно подавляет глобальную диффузию.
Скорость диффузии. В присутствии слабого случайного возмущения скорость
диффузии для стандартного отображения была получена аналитически
Речестером и Уайтом [345 J и Речестером и др. [346 ]. В последней работе
был введен метод фурье-траекторий, описанный в предыдущем параграфе.
Покажем, как следует видоизменить метод п. 5.4г, чтобы учесть случайное
возмущение. Введем в стандартное отображение случайное изменение фазы ?:
/"+! = /" + * sin е", (5.5.3а)
0/1+1 - Ч' At+i (5.5.36)
где ? имеет гауссово распределение с дисперсией а:
у§^еч>(-~?¦)¦ (5-5-4)
Тогда вероятность перехода (5.4.25) принимает вид
W(I, 6, п\Г, 0', /г-1) = j dip(?)8(/ -Ksin8') х
X 6(0 - 6'-/'- К sin0' - ?). (5.5.5)
Подставив это выражение в (5.4.33) и проинтегрировав по 0 и Г, получим
(5.4.34) с дополнительным множителем
\ е~ im^p (|) d\ - ехр | m2c j . (5.5.6)
В результате вместо (5.4.376) приходим к следующему рекуррентному
соотношению:
ап (тп, q") = ^ /in (| qn-i | К) ехр | т2пв j ап-х {тп-ъ qn-1).
'п
(5.5.7)
В Нижеследующее выражение в точности совпадает с оценкой Будкера (см.
[509], с. 50), который первым обратил внимание на такой механизм
динамического усиления диффузии. Впоследствии это явление получило
название неоклассической диффузии, теория которой была развита Галеевым и
Сагдеевым [510].- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
337
Используя фурье-траектории, изображенные на рис. 5.12, б-е, получаем
коэффициент диффузии
А,
Л'2
- 7 г (К) е-° + ?\ (К) е~20 -f г! (К) е~3° - j\{K)
(5.5.8)
который обобщает соотношение (5.4.45), учитывая влияние внешнего шума при
К );> 1 •
Рис. 5.16. Зависимость скорости диффузии D/D1 от К для различных условий
внешнего шума а (по данным работы [346]).
Сплошные кривые - метод фурье-траекторий; пунктирная кривая - оценка
(5.5.14); кружки - численный счет ((? = 10 2).
338
Глава 5
Более интересным является случай КС 1. Речестер и др. [346] показали, что
в низшем порядке по К вклад в коэффициент диффузии дают только фурье-
траектории с / - 0 и / -= 1, причем для
в
Рис. 5.17. Фазовая плоскость стандартного отображения.
Стрелками показана типичная траектория, приводящая к усилению внешней
диффузии при к ^ 1.
