Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 120

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 742 >> Следующая

присутствии малого внешнего шума (см. § 5.5).
332
Глава 5
чены Чириковым [70]. Следует ожидать, что при /¦(<;4 роль областей
устойчивости станет существенной и необходимо будет учитывать большее
число фурье-траекторий. Для /СС1 стохастические области ограничены и Д, -
>¦ 0 при ч -оо. Чтобы сгладить сингулярности, связанные со сложной
структурой фазовой плоскости, Речестер и Уайт ввели небольшой внешний
шум, влияние которого мы рассмотрим в следующем параграфе. Можно
надеяться, что такой подход обеспечит сходимость суммы по всем фурье-тра-
екториям и позволит в принципе найти точное значение D. Здесь возникает,
однако, другая трудность. Карни и соавторы 1223 ] показали, что D -> оо
для тех значений К, при которых существуют ускорительные режимы движения
(см. п. 4.16). Связано это с тем, что для некоторых начальных условий
величина / изменяется со временем монотонно, а не диффузионно, т. е.
значительно быстрее, и соотношение (5.4.45) становится неприменимым (см.
также [541)1). В стандартном отображении ускорительные режимы появляются
при К > 2л. Их влияние видно на рис. 5.13 как повышение D вблизи
нескольких первых максимумов. Аналогичные результаты были получены Кари и
Мейсом [53 ] для другого отображения.
§ 5.5. Влияние внешнего шума 5.5а. Введение
В § 5.4 было показано, что сильное перекрытие резонансов приводит к
внутренней диффузии с такой же скоростью, как если бы фазы возмущения
были случайными. Это эквивалентно сильной внешней диффузии, вызываемой
посторонним по отношению к системе источником шума. Для задачи о
взаимодействии волна - частица, например, это соответствует большому
числу сильных нескоррелированных волн, как предполагается в квазилинейной
теории. Таким образом, в пределе сильной стохастичности внутренняя и
внешняя диффузии похожи друг на друга 2).
Ч Асимптотический характер описанного метода (вычисления Dn при п -> оо)
обманчив. На самом деле реально [например, в (5.4.45)] можно учесть лишь
несколько близких (п ~~ 1) корреляций С (га) = (sin0o sin 9"). Как
показано в работе [54] (см. также [464]) прямым вычислением С (га),
соотношение (5.4.45) включает фактически только две из них: С (2) =,-
/2/2 и С (4) "/|/2 (С (1) = 0; С (3) = (f\-/()/2 |ДГГа). Вопрос об
асимптотическом поведении С (га) при га -> оо является очень сложным. При
наличии границы стохастичности в фазовом пространстве (например, островки
устойчивости) корреляции затухают очень медленно, как С (га) ос га-р; р <
1. При этом простое диффузионное описание может оказаться неприменимым,
если Dn оо при га -> оо. Сумма (5.4.39) в этом случае расходится.
Обсуждение этих вопросов см. в работах [507, 508, 485] и в предисловии
редактора перевода.- Прим. ред. .**-"
2) Наиболее существенное отличие между ними - сохранение энергии в
случае внутренней диффузии в автономной системе.- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
333
Однако в том случае, когда внешнее случайное воздействие мало по
сравнению с внутренним возмущением в самой системе, необходимо
исследовать их совместное действие. Если, например, слабый внешний шум
действует на систему в устойчивой области, то траектория движения не
останется, конечно, на гладкой инвариантной кривой. Однако скорость
изменения интегралов движения будет определяться при этом, вообще говоря,
лишь слабым шумом 1). Такая устойчивость существенна как для реальных
физических систем, всегда подверженных действию шума, так и при численном
моделировании с его неустранимыми ошибками счета.
Ав
Ав
I I
-Н2л<*'д/+Д0 н
±.
т
AJ
2п
Рис. 5.14. Расплывание фазовой ячейки для интегрируемой системы на
примере отображения поворота.
Линейный сдвиг происходит вдоль инвариантных кривых (пунктирные линии);
ср. рис. 5.5.
Описанная выше устойчивость основана на том, что малое возмущение
приводит к расходимости близких траекторий в основном вдоль, а не поперек
инвариантных поверхностей. Покажем это на примере отображения поворота
(3.1.8)
Jя+1= Jя> бп+1= Эя -г 2яа (Jn-f i).
Пусть (рис. 5.14) близкие начальные условия равны J и J + ДJ. Тогда
0/(J) = 0o+2na(J),
0Х(/ -f AJ) = 0о-|-2ла(Т -f- AJ) " 0о-|- 2лос (J) + 2na'AJ.
Таким образом, продольный (по отношению к инвариантной кривой J = const)
размер параллелограмма на рисунке
0Х (J -f- Д J) - 0Х (J) = 2я<х'Д J растет линейно с п, в то время как
поперечный размер ДJ остается
*) Вообще говоря, это не так, см. п. 6.36.- Прим. ред.
334
Глава 5
неизменным. Грин [165] получил аналогичный результат для другого примера,
показав, что начальный круг ошибок преобразуется в сильно вытянутый
эллипс, большая ось которого направлена вдоль инвариантной кривой.
^ v
а 5
Рис. 5.15. Фазовая плоскость (и, 4') Для отображения Улама со слабым
внешним шумом (5.5.1) (по данным работы [274J).
Случайный скачок ф<гзьг Лф равномерно распределен в интервале [ Л>|' | -с
0,005; М = 10; а - 10 210 итерации: б 20 480 зпераций для одной
траектории.
Стохастическое движение и диффузия
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed