Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной
геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается
интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по
разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими
как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой
плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а
также кратко обсуждаются в дополнении А.
Существование движений, которые проявляются при численном моделировании
как случайные, надежно установлено. Однако математические попытки
охарактеризовать стохастичность с помощью таких понятий, как
эргодичность, перемешивание и тому подобное, далеко не всегда оказывались
успешными1). Синай [377] доказал эти свойства для газа твердых шариков.
Было показано также, что некоторые модельные гамильтоновы системы
обладают даже более сильными стохастическими свойствами. Эти результаты,
описанные в гл. 5, дают основание считать, что случайность движения имеет
место и для типичной гамильтоновой системы в том случае, когда она
обладает поведением, характерным для идеализированных моделей.
Э Здесь, по-видимому, имеются в виду трудности аналитического выявления
указанных свойств в конкретных динамических системах. - Прим. ред.
18
Глава 1
Кажущаяся стохастичность 2) движения в подобных сложных системах дает
основание говорить о принципиально новом подходе к статистической
.механике и поэтому привлекает, к себе все более широкий круг
исследователей в этой области. Сложность движения вблизи неустойчивых
периодических решений и тот факт, что эти неустойчивые траектории
образуют в фазовом пространстве всюду плотное множество, служат серьезным
доводом в пользу такой точки зрения. В последнее время значительные
усилия были направлены на выяснение связи стохастического движения с
показателями Ляпунова, которые определяют скорость экспоненциальной
расходимости близких траекторий. Это важно также и с практической точки
зрения для вычисления усредненной по фазам скорости диффузии по
переменным действия. В прошлом такие вычисления проводились в
предположении о случайности фаз. Ясно, что это предположение
несправедливо при наличии инвариантных кривых, ограничивающих область
изменения фаз. Даже в случае полной эргодичности, когда движение
охватывает всю энергетическую поверхность, необходимо еще определить
масштаб времени, на котором фазы становятся случайными. Проведенные
численные и аналитические исследования позволили глубже понять проблему
убывания фазовых корреляций вблизи инвариантных поверхностей. Эти вопросы
будут рассмотрены в гл. 5.
Существует значительное различие между стохастичностью в системах с двумя
и большим числом степеней свободы. Используя топологические соображения,
Арнольд [12] показал2), что для систем с более чем двумя степенями
свободы стохастические слои связаны между собой и образуют в фазовом
пространстве плотную "паутину". Для начальных условий на этой паутине
стохастическое движение идет вдоль слоев, приводя к глобальной диффузии,
не ограниченной инвариантными поверхностями. Этот механизм принято
называть диффузией Арнольда. Она может быть быстрой или медленной в
зависимости от толщины стохастических слоев. Такая диффузия существует (в
принципе) для сколь угодно малых возмущений интегрируемых систем. Еще
один интересный эффект в многомерных системах связан с медленной
модуляцией одного из периодических движений3). В этом случае
стохастическое движение вдоль паутины может значительно усиливаться за
счет так называемой модуляционной диффузии. Этот механизм противоречит
интуитивному представлению о том, что медленная модуляция должна
приводить к адиабатическому поведению4). В многомерных системах резонансы
могут значительно влиять на диффузию также
Э Этот осторожный термин сейчас уже не оправдан (см., например, [448] и
популярные статьи [61, 449-452]).- Прим. ред.
2) См. также [462].- Прим. ред.
3) Имеются в виду невозмущенные колебания по одной из независимых
степеней свободы.- Прим. ред.
4) См. примечание редактора на с. 367.- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
19
и благодаря внешней стохастичности (шуму). Для систем с двумя степенями
свободы действие шума эквивалентно, вообще говоря, наличию третьей
степени свободы и приводит к диффузии вдоль резонансов. При этом
резонансы могут значительно увеличивать скорость диффузии. Считается, что
эти процессы могут ограничивать время жизни частиц и интенсивность пучков
в накопительных кольцах. В гл. 6 мы рассмотрим диффузионные процессы в
многомерных системах, включая диффузию Арнольда и модуляционную диффузию,
а также совместное действие внешнего шума и резонансов.
Новая область явлений возникает в диссипативных системах, фазовый объем
которых не остается постоянным, а сокращается со временем. Конечное
состояние в этом случае представляет собой движение на некотором
подпространстве, называемом аттрактором, размерность которого меньше
