Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
(2я)2 m' '
Xexp[- im (0' +1) - iql г iq' (I - К sin 0') + im'Q']. (5.4.34)
Интегрирование по / дает
2лб (-m-q - q'), что позволяет взять интеграл по q':
ап (т, <7) = -!- ? j dQ'a"^ (m', q) x
2л m'
X exp [i (m' - m) 0' - iqK sin O'], (5.4.35)
где
q = qJrm. (5.4.36)
Используя разложение
оо
exp (iqK sin07) = 2 fi (| q j К) exp (i/0' sgn (q)),
/=-оо
где sgn (.v) =- 1 для x > 0 и sgn (x) ~ - 1 для х<0, a f i -
функция Бесселя, получаем после интегрирования по 0'
ап (т, q) = ^fl(\q\K)bk(m' - m-Hgx\Q))an^1(m',q). (5.4.37а)
Здесь Ьк (т) = 1 при т = 0 и 6* (т) = 0 при т Ф 0. Проведя суммирование
по т', находим рекуррентные соотношения:
ап{т", = Яп-i), (5.4.376)
/
П
тп - rtin^-ln sgn (qn-i) [из 6* в (5.4.37а)], (5.4.38а)
qn = qn-i-mn [из (5.4.36)]. (5.4.386)
Итерируя (5.4.376) п раз, получаем выражение для ап через а":
ап{т", qn)= ? <7о)- (5.4.39)
1п 11
Фурье-траектории. Согласно (5.4.38), набор п целых чисел 11! определяет
некоторую траекторию на плоскости
Стохастическое движение и диффузия
329
Фурье (m, q). Из (5.4.29) следует, что в коэффициент диффузии Dn дают
вклад только те из них, которые оканчиваются в точке тп = О и q" = 0.
Типичная траектория показана на рис. 5.12, а.
Аргументы функций Бесселя равны К\qi I, и если qi Ф 0, то при К оо /г ~
КГ'и. Поэтому при больших К основной вклад дают члены с qt -0. Наибольший
х) из них соответствует всем /,- = 0. Согласно (5.4.38), его фурье-
траектория длины п является неподвижной точкой вблизи начала координат
(рис. 5.12, б). В этом случае
-J-[/0{Kq))ne-Cq,o.
(2л у1 J v '
а"(0, q)--
(5.4.40)
-N
(0)
Рис. 5.12. Фурье-траектории.
а - типичная траектория, оканчивающаяся в точке (m, q) - (0, - 0); б -
квазилинейная неподвижная точка (0, -*-0); в - траектория поправки
порядка К-* а -е - траектории поправок порядка К-1. Числа в скобках
указывают значения / в соответствующих точках (in, q).
Подставляя это выражение в (5.4.29) и разлагая /0 До квадратичных членов,
получим при п д> 1
Dn = D1~ -Щ-,
т. е. квазилинейный результат (5.4.216) 2).
Б Это не очевидно заранее из-за взятия производной в (5.4.29). Поэтому
необходимо проанализировать также члены с I = 1 и I = 2 (см. ниже).-
Прим. ред.
2) Формально он не зависит от п, однако выражение (5.4.29) получено в
предположении п > 1.- Прим. ред.
330
Глава 5
Для вычисления поправок к этому значению рассмотрим другие фурье-
траектории. Главные поправки соответствуют траекториям, наименее
уклоняющимся от начала координат. Имеются две траектории, возвращающиеся
в начало координат через три шага 1), начиная с произвольного номера г.
Из (5.4.38) 2) имеем т1 + т2 =0 или т1 = ± 1; m8 = T 1. Первая из
траекторий показана на рис. 5.12, в. Значения I для qr = 0+ получаются из
(5.4.38а) и указаны на рисунке. Вклад этой траектории в величину ап
определяется из (5.4.39):
1 •[/oMn_3/-i(^l
(2я)2
X
хГ-г(К\Чг+1\Г-ЛК\дг+*\)е <?/°. Учитывая, что \qr \ = | qr+2 1 = q и
\qr+1\ = 1, получаем
¦ [Jo\Kq)\n -3 [/! mff* (К) е~Сс"°.
(2я)2
(5 4.11)
Вторая траектория получается поворотом первой (рис. 5.12, в) на 180° и
дает точно такой же вклад в ап. Для больших п существует 2п траекторий,
соответствующих г = 1, 2, . . . , п0. Суммируя их вклады и оставляя в
разложении (5.4.41) по q только члены с q2, находим
(0, q) -.
Вместе с (5.4.40) это дает
D" =
2 п
(2я)2
/г (К).
(5,4.42)
К2
(5.4.43)
В пределе больших К и п второй член дает малую поправку к ква-
зилинейному приближению, представления /2 (JQ
Действительно, из асимптотического
Dn
К2
V
2
я Л'
cos / К-
5 я 4
(5.4.44)
^-1/2
видно, что поправка имеет порядок КГ
Аналогичным образом можно найти траектории, дающие поправки ~ ТС-1. К ним
относятся траектории на рис. 5.12, г, д, е, получающиеся из них поворотом
на 180°. Окончательный результат с точностью до поправок порядка /С"1
включительно имеет вид /С2
А, =
--ЫК) + П{К)-
П (К)-я (К) • (5.4.45)
х) Из (5.4.38) легко видеть,гчто возврат через два шага невозможен.-
Прим. ред.
2) Траектории с \ml\> 1 дают меньшие поправки.
Стохастическое движение и диффузия
331
Он был получен Речестером и Уайтом [345] (без члена ft)1)- Заметим также,
что разность /|-f\ имеет порядок К~г и превышает точность (5.4.45).
Речестер и Уайт получили также численную зависимость коэффициента ?>50 от
К по 3000 траекторий. Их результаты представ-
к
Рис. 5.13. Зависимость скорости диффузии D/D1 от параметра К стандартного
отображения (по данным работы [345]).
Точки - численный эксперимент; кривая - теория.
лены на рис. 5.13. Точки соответствуют численным значениям D50,
нормированным на квазилинейный коэффициент диффузии /С2/4. Сплошная
кривая соответствует зависимости (5.4.45) без слагаемого 2) ft-
Осцилляции в зависимости D (К) впервые были заме-
Т Эта ошибка была исправлена авторами в работе [346].- Прим. ред.
2) Для больших К основной эффект от этого члена сводится к небольшому
сдвигу кривой вверх. Отметим, что численный счет производился в
