Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
t -1
rf*-'1 = | "*2-i (x) |,
Wj/'i 0):
"Е i w 4''
(5.3.12r) (5.3.12д)
Тогда в течение (k-1)-го интервала времени т объем Vp возрастает в
4,,42)... d{p) раз. Отсюда, согласно (5.2.14), получаем
0<р) = lim -I- у In (4U42> . . . dfY). (5.3.13)
fl^oо ПГ
1=1
Стохастическое движение и диффузия
317
Вычитая а\р п из ст[р) и используя (5.2.15), находим р-й показатель
Ляпунова
о" = lim -V In d[p). (5.3.14)
п->-оо ПХ ?__.j
Это соотношение фактически и используется при численном моделировании.
Бенеттин и др. [20] нашли таким способом все показатели Ляпунова для
нескольких гамильтоновых систем, включая 4- и 6-мерные отображения. Мы
приведем их результаты для системы с тремя степенями свободы, которая
исследовалась Контопулосом и др. [93]:
Н = -у (Pi + 4) 4- (pi т <7l) + (Рз + 4) + 4Яг -f 4b-
Движение этой системы ограничено при #<0,097. Для Н = 0,09 фазовое
пространство разделяется, грубо говоря, на три области: большая область
стохастичности с ог ж 0,03; а2 " 0,008 и я3 " 0; область регулярного
движения (0Х = 02 = 03 == 0) и промежуточная область. На рис. 5.9
представлены результаты вычисления первых трех показателей Ляпунова для
начальных условий в промежуточной области. Видно, что сходимость имеет
место для 0! " 3 X 10_3 и 03 = 0, соответствующего направлению вдоль
траектории. Поведение показателя о2 не вполне ясно.
Как мы увидим в § 6.2, эти результаты на самом деле обманчивы.
Действительно, в системе с тремя степенями свободы первая и третья
области должны быть связаны слабой диффузией Арнольда, благодаря которой
траектория переходит из одной области в другую. Поэтому, по-видимому, и
для промежуточной области 0j " 0,03, а 02 " 0,008, что противоречит
данным на рис. 5.9. Это еще раз указывает на основную трудность
численного определения показателей Ляпунова: не существует априорного
условия для определения достаточного числа итераций п. Поэтому при
численном моделировании необходимо использовать и другие методы, такие,
например, как метод сечения Пуанкаре1).
§ 5.4. Диффузия в пространстве действий
В областях фазового пространства, где движение полностью или в основном
стохастично (исключая небольшие изолированные островки устойчивости), его
можно описывать с помощью функции распределения, зависящей только от
переменных действия (или скоростей) 2). Эта задача представляет большой
практический ин-
J) См. примечание редактора на с. 315.- Прим. ред.
2) Возможность усреднения по фазам при статистическом описании зависит не
только от стохастичности движения, но и от наличия в задаче двух разных
масштабов времени: быстрого перемешивания (по фазам) и медленной диффузии
(по переменным действия) (см. ниже по тексту). Такие масштабы -были
введены Боголюбовым (см. [447], т. 2, с. 99).- Прим. ред.
318
Глава 5
терес. Так, например, в задаче Ферми основная цель заключалась в
нахождении возможного механизма ускорения космических лучей. При этом
динамика фаз частиц по отношению к ускоряющим их полям не представляет
сама по себе интереса и требуется только для определения среднего
ускорения и энергетического распределения. Аналогично и для электронного
или ионно-циклотронного резонансного нагрева плазмы физический интерес
представляет скорость нагрева и распределение по энергии.
В этом параграфе мы рассмотрим возмущенное отображение поворота: =
unjrl = un^ref(un+1, ф"), (5.4.1а)
Ф*+i = Фп + 2ла (и"+1) + eg(u"+1, ф"), (5.4.16)
где и, ф - переменные действие - угол невозмущенного движения. В п. 5.4а
дан вывод уравнения Фоккера-Планка для функции распределения Р (и, п) и
обсуждаются условия его применимости. В п. 5.46 в приближении хаотических
фаз вычисляются коэффициенты переноса. В качестве иллюстрации
используются упрощенное и точное отображения Улама. В п. 5.4в получены
стационарная и нестационарные функции распределения. Корреляционные
поправки к коэффициентам переноса рассмотрены в п. 5.4г.
* 5.4а. Уравнение Фоккера-Планка *)
Рассмотрим эволюцию функции распределения Р (и, п), ограничившись,
естественно, областью сплошной стохастичности (без островков
устойчивости). Примером может служить область и ^ us (см.
п. 3.4а и б, рис. 1.14, 3.12 и 3.13) для упрощенной модели Улама:
1 - 1 M-п f (фп) I" (5.4.2а)
Фп+1 = Ф"+ вМ > mod (c), (5.4.26)
"п+1
где (c) - интервал периодичности по фазе (1 или 2л). Пусть эволюция Р (и,
п) в такой области описывается как некоторый марковский процесс по д
[424] 2):
Р (и, л-f Лл) = J Р (и-А и, n)Wt{u-А и, п, А и, An)d(Au).
(5.4.3)
Здесь Wt (и, п, Аи, Ап) - вероятность перехода и -> и -f Aw за
х) В отечественной литературе его чаще называют уравнением Фоккера-
Планка-Колмогорова (ФПК), поскольку строгий вывод этого уравнения,
условия его применимости и ковариантная формулировка даны в работах
Колмогорова [503, 504].- Прим. ред.
2) См. также [62, 505].- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
319
"время" Ап. Предположим также, что Ап ~р> 1 и Au<^P/(dP.'du), т. е.
существует такое Ап, что [для модели (5.4.2) ]
