Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
движения, тогда как три другие (4-6) - в широкой стохастической области,
которая хорошо видна на рис. 1.13. Как и следовало ожидать, для первых
траекторий с увеличением п величина сг", очевидно, стремится к
9 То есть сокращать длину вектора w (| w | -* йл = 1), не изменяя его
направления (см. [73]).- Прим. ред.
314
Глава 5
нулю 1), а для вторых, по-видимому,- к одному и тому же значению 2) 0Х.
Используя этот метод, Бенеттин с соавторами нашли зависимость 0j от
энергии Е в областях стохастического и регулярного движения (рис. 5.8). В
последнем случае оп -> 0 (черточки на оси абсцисс). Сплошная кривая
соответствует подгонке значений OjX) к экспоненциальной зависимости.
Используя соотно-
Ю'!'~
Ю'2 -
оп
vo~3 -
Юг 103 10*
пх
Рис. 5.7. Зависимость показателя ап от времени для траекторий на
регулярной (1-3) и стохастической (4-б) компонентах (по данным работы
[19]).
шение (5.2.27) и зависимость 1-ps от Е, полученную Хеноном и Хейлесом
[188], Бенеттин с соавторами вычислили КС-энтропию h (Е) (пунктирная
кривая на рис. 5.8). Они высказывают предположение, что h(E)^>0 для всех
Е>0, что согласуется с нашими общими представлениями о свойствах
движения, хотя и не видно из рис. 5.8 из-за различных приближений при
вычислении Это указывает на некоторый присущий методу недостаток.
Возможно, например, что одна из траекторий на рис. 5.7, которая кажется
регулярной, на самом деле лежит в узком стохастическом слое. Такую
траекторию одинаково трудно обнаружить как непосредственно, так и при
помощи настоящего метода, поскольку выход на очень низкое плато может
оказаться за пределами фактической
1) Грубо говоря, как 1/лт [см. (5.3.4)].- Прим. ред.
2) Вообще говоря, это не всегда так (см., например, [73], рис. 3). В дан-
ном примере близкие значения ап указывают на принадлежность всех трех
траекторий к одной и той же стохастической компоненте.- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
315
длительности счета х). Мы вернемся к этим вопросам в гл. 6 при обсуждении
более сложного движения в многомерных системах.
Вычисление всех показателей Ляпунова 2). Следуя Бенеттину и др. [20 ] 3),
покажем, каким образом вычисляется полный набор показателей Ляпунова в
ЛПмерном фазовом пространстве. Ясно, что любая попытка определить 02, 03
и т. д., выбирая касательный вектор w вдоль векторов е2, е3 и т. д. (см.
рис. 5.2), обречена на неудачу из-за неустойчивости этих направлений, так
что любые ошибки повернут в конце концов w (t) вдоль ег. Вместо этого
выберем начальный базис из р ортонорми-рованных касательных векторов и
численно определим р-мерный объем Vp (/), заданный этими векторами.
Отсюда можно найти показатель Ляпунова 01Р) порядка р (5.2.14). Проделав
эту процедуру для р = 1, 2, . . . , М, из (5.2.15) определим все
показатели ) о1( о2, . . . , ом. Здесь, однако, возникает следующая
трудность. В процессе движения углы между касательными векторами, вообще
говоря, экспоненциально уменьшаются и численные| ошибки резко возрастают.
Поэтому в дополнение к перенормировке длины векторов w необходимо также
периодически ортогонализовать их.
При этом новые векторы должны лежать в том же подпространстве, что и
старые.
Оказывается, что такую процедуру одновременного вычисления всех р-мерных
объемов можно свести к расчету эволюции М векторов и их специальной
ортогон ал из аци и по методу Грама-
*) Заметим, что хотя действительно таким методом нельзя установить
регулярность движения (интегрируемость) в некоторой области фазового
пространства, однако вполне можно обнаружить хаотическую (случайную)
компоненту движения, т. е. неинтегрируемость. В некотором смысле этот
численный метод дополняет аналитический метод обратной задачи рассеяния
(см. примечание редактора на с. 56), который позволяет, наоборот,
доказать только интегрируемость.- Прим. ред.
2) Заметим, что для критерия стохастичности нужен по существу только
максимальный показатель ввиду неравенства h ^ > 0. Иначе говоря,
точное значение КС-энтропии h, которое требует знания всех показателей,
несущественно.- Прим. ред.
3) См. также [502].- Прим. ред.
0,15
0,10
0,05
О
0,05
/
? ¦
/¦'
/ /
А '
Л ;
0,10 0,15
Рис. 5.8. Зависимость максимального показателя щ от энергии на
стохастической (крестики) и регулярной (черточки на оси абсцисс)
компонентах (по данным работы [19]).
Сплошная кривая - экспоненциальная интерполяция для Cj > 0; пунктирная
кривая - КС-энтропия, пересчитанная по СП.
316
Глава 5
Шмидта. Вспомним, что к>*_1 (т) - касательный вектор Wk~\ (0) через время
т. Вычислим сначала для каждого временного интервала т следующие
величины:
di1> = |wi1i,(T)|, (5.3.12а)
wP(0)--
w
о"
А -1
4°
(5.3.126)
Рис. 5.9. Все три положительных показателя Ляпунова для модели Конто-
пулоса (см. текст) (промежуточная область) (по данным работы [20]).
Затем для / = 2, . . . , М найдем последовательно величины
"Г, (т) = шГ, (т)- z (wp (0) • Wk'Li (т)) "4° (0), (5.3.12b)
