Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
правило, окончательной проверкой теоретического анализа. Примеры
численного моделирования приводятся в каждой главе также для иллюстрации
и пояснения физической сущности явлений.
Из детальных численных экспериментов и соответствующих теоретических
исследований возникла весьма необычная картина фазового пространства
слабо возмущенных систем. Вблизи резонансов топология невозмущенных
инвариантных поверхностей изменяется и образуется характерная резонансная
структура, похожая на "цепочку островов". Внутри островов топология также
изменяется, приводя к еще более мелкой резонансной структуре и т. д.
Однако вся эта структура - только часть полной картины движения, которая
включает также плотную систему тонких слоев
16
Глава I
со стохастическим движением. Анализу этой структуры посвящена большая
часть гл. 3.
Для слабо возмущенных систем с двумя степенями свободы тонкие
стохастические слои отделены друг от друга инвариантными поверхностями, а
стохастические колебания переменных действия внутри слоя оказываются
экспоненциально малыми (по возмущению). С увеличением возмущения возможен
переход, при котором изолирующие инвариантные поверхности разрушаются и
стохастические слои сливаются, приводя к глобальному стохастическому
движению. Фазовое пространство можно разделить при этом на три области.
Одна из них содержит в основном стохастические траектории. Она связана Ч
со второй областью, значительную часть которой составляет по-прежнему
стохастическая компонента движения, но внутри ее уже имеются большие
острова регулярного движения. Третья область содержит главным образом
регулярные траектории и отделена от первых двух инвариантными
поверхностями. Классический пример, иллюстрирующий переход от почти
регулярного к существенно стохастическому движению, был предложен Хеноном
и Хейлесом [188] для моделирования динамики в задаче трех тел2).
Численные эксперименты и связанные с ними эвристические теории, развитые
за последние двадцать лет, прояснили основные процессы и позволили
определить величину возмущения, при которой происходит такой переход. Эти
результаты иллюстрируются в гл. 3 на примере ускорения Ферми,
первоначально предложенного для объяснения происхождения космических
лучей. Рассматривается модель, в которой упругий шарик колеблется между
неподвижной и вибрирующей стенками. Далее, в гл. 4, определяются условия
перехода от локализованной стохастичности к глобальной. При этом
используются различные подходы к задаче (см., например, [70, 1651).
Все упомянутые методы применялись при исследовании широкого круга задач
как на начальном этапе развития теории, так и в последующих приложениях.
Приложение к задаче трех тел и ее многочисленным вариантам ознаменовало
по существу начало широких исследований в данной области3). Возникают и
новые захватывающие приложения в астрономии, например структура колец
Сатурна или пояса астероидов. Качественно это удается понять на основе
представления о резонансах с большими возмущающими телами. Однако
количественные данные о ширине колец Сатурна и люков в распределении
астероидов, а также недавно наблюдавшуюся с космических кораблей сложную
структуру колец Сатурна еще предстоит объяснить.
Ч Траекториями движения.- Прим. ред.
2) Этот пример возник из задачи о движении звезды в поле галактики.-
Прим. ред.
3) Это, пожалуй, преувеличение, вспомним хотя бы классические труды
Пуанкаре по небесной механике.- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
17
Другим важным приложением является движение заряженной частицы в
магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что
магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с
ларморовским вращением заряженной частицы 17]. В дальнейшем были
рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы
частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и
техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он
изучал переход между регулярным и стохастическим движением и установил
первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В
дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его
резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для
высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых.
Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под
действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей
движения, используется в качестве примера для резонансной теории
возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического
поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории
является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были
проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных
систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания
других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в
