Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
сразу видно на примере отображения на торе
(5.2.4), как показано на рис. 5.1, в. Разделим траектории на две группы -
"серые" и "темные". Ясно, что в процессе движения они будут сохранять
свое относительное расположение даже при иррациональном а, когда каждая
траектория покрывает весь тор. Это и означает отсутствие перемешивания.
При t -> оо система с перемешиванием приближается к равновесному
состоянию: / (jc) (f). Покажем это на примере "отображения пекаря"
С%)- '/2.
fXn+l \
\Уп +1 )
\Уп
'2хп-
(5.2.21)
1/2й?л:"< 1,
/2х"- 1 \
которое качественно обсуждалось в § 1.4. Следуя Форду [133] и Берри [26],
покажем, что "огрубленная" функция распределения приближается к
равновесной функции (константе). Из (5.2.21) получаем отображение для /:
/"н-i (*. У) =
'¦ (т ¦
2 у
2у- 1
0<г/<1/2,
l/2s?i/< 1.
(5.2.22)
Так как f быстро расслаивается по у, то для огрубления fn проведем
усреднение по этой переменной:
1
ёп М = fn (X, у) dy.
О
Как мы увидим в § 5.4, это эквивалентно интегрированию по бьг
строосциллирующей фазе. Проведя усреднение для (5.2.22), получим
1/2 1
g'i+i(A:):=J fn{~2' ^У^ dy-\- ^ fn ^ ^ ^ ^dy -
О 1/2
*) Понятие "огрубление" относится к функции распределения, а не к
фазовому пространству, которое в классической механике является
непрерывным. Более того, эта непрерывность и есть источник случайности
динамических траекторий (см. примечание редактора на с. 307). Правильнее
было бы сказать, что перемешивание является интегральным, а не локальным
свойством движения, которое формально определяется условием (см.,
например, [486]): (f (Тпх) g (X) ) -*¦ (f (х) > (g (X)} при п -* ± оо,
где f, g - любые {неогрубленные) функции.- Прим. ред.
300
Глава 5
Таким образом, отображение для огрубленной функции g сводится к
усреднению g по двум половинам фазового квадрата. Это приводит в конце
концов к однородной по х функции g, как и должно быть при перемешивании
*).
Интуитивно ясно, что рассматривавшиеся в предыдущих параграфах
стохастические системы являются перемешивающимися (в пределах
стохастической компоненты движения). Однако это очень трудно строго
доказать в конкретных случаях. Синаю [377 ] удалось сделать это для
системы твердых шариков (см. п. 1.4а). Доказательство основано на
рассеянии пучка траекторий при столкновении шариков (см. рис. 1.15, а).
Хотя этот частный результат и не доказывает наше предположение о
перемешивании для типичной системы, близкой к интегрируемой, однако он
оправдывает подобные эмпирические обобщения, получаемые методом
численного моделирования.
К-системы. К-системы называются по имени Колмогорова, который ввел это
понятие в работе [230 ]2). Эти системы имеют положительную КС-энтропию
(энтропию Колмогорова). КС-энтро-пия (по имени Крылова [241], Колмогорова
[230] и Синая [376, 378 ]) определялась первоначально [230 ] посредством
построения специального разбиения фазового пространства. В момент времени
t = 0 разделим пространство на множество {Л,- (0)} малых ячеек конечной
меры и рассмотрим их эволюцию обратно по времени на единичном временном
интервале3). В результате получим новое множество {Л,- (-1)). Каждый
элемент пересечения этих двух множеств В (- 1) = {Ai (0) П Л/ (- 1)}
имеет, как правило, меньшую меру, чем элемент Л( (0). Продолжая этот
процесс, построим элементы множества
В (-2) = {ЛI (0) Г) А,{- 1) П М-2)1
и т. д. Можно показать, что для того чтобы мера элемента В (- t)
экспоненциально уменьшалась при tоо, должно выполняться условие
МИД0)}) = -lim-J- у р[ВД - 0]1пр[ВД - 9]>0,
<->¦" * г= 1
J) Если переменные х канонические, что в данном примере выполняется.-
Прим. ред.
2) Сам Колмогоров назвал их квазирегулярными, имея в виду свойства
регулярного (типичного) случайного процесса. По поводу определения К-
системы, или К-свойства движения см. примечание редактора на с. 301.-
Прим. ред.
3) Эволюция крупноструктурной (огрубленной) функции распределения Ai (t)
назад по времени соответствует движению по траекториям вперед по времени
[ср. (5.2.21) и (5.2.22)].- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
301
где Rt - число элементов В (- /)> а Ц (- 01 - мера элемента В(. Величина
hA имеет смысл средней скорости экспоненциального уменьшения р (б;)-
Тогда КС-энтропия h есть максимум (верхняя грань) hA по всем измеримым
начальным разбиениям фазового пространства г).
Так как КС-энтропия положительна только в случае экспоненциального
уменьшения средней меры элемента В (назад по времени), то неудивительно,
что она связана со средней скоростью экспоненциальной расходимости
близких траекторий (вперед по времени), т. е. с показателями Ляпунова.
Явное выражение для этой связи было получено Лесиным [335 ], и его можно
записать в виде
h =
Е (¦*)'
ot U)>0
(5.2.24)
Здесь суммирование производится по всем положительным показателям
Ляпунова, а интеграл берется по некоторой инвариантной области фазового
пространства. Вообще говоря, КС-энтропия понимается как некоторая
