Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
определить, что изолирующие интегралы движения отсутствуют? Какие
величины необходимы для описания стохастического движения? Насколько
численное моделирование соответствует поведению реальной системы? При
каких условиях можно ограничиться изучением диффузии только в
пространстве действий? Какое влияние на диффузию оказывает внешний шум? И
наконец, как изменяются все эти свойства при увеличении числа степеней
свободы?
В течение главным образом последнего десятилетия эти вопросы изучались
рядом исследователей. Среди них Хенон и Хейлес, Заславский, Чириков с
сотр., Фрёшле, Форд с сотр., Гальгани с сотр. и многие другие. В своей
пионерской работе [188] по численному изучению стохастичности для двух
связанных осцилляторов Хенон и Хейлес писали: "Проверка показала, что ...
в области,
х) См. также [486].- Прим. ред.
2) См. также [340, 444, 481, 488].- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
291
заполненной [инвариантными] кривыми, расстояние [между близкими
траекториями] растет медленно, приблизительно линейно [со временем], а
... в эргодической области это расстояние возрастает быстро,
приблизительно экспоненциально". Дальнейшие исследования подтвердили этот
результат более строго, связав экспоненциальную расходимость траекторий с
энтропией Колмогорова и характеристическими показателями Ляпунова.
Вычисление этих характеристик движения стало стандартным методом проверки
на стохастичность. Эти вопросы будут подробно рассмотрены в § 5.2 и 5.3.
Для многих задач важной характеристикой движения является функция
распределения в пространстве переменных действия. Исследование эволюции
распределения значительно упрощается, если ее описание удается свести к
диффузионному уравнению. Такой подход использовался Либерманом и
Лихтенбергом [274 ] и другими авторами и будет описан в § 5.4.
Поправки к коэффициентам переноса, возникающие из-за нарушения
приближения хаотических фаз, можно учесть с помощью представления Фурье
(п. 5.4г). Воздействие внешнего шума на динамику системы рассмотрено в §
5.5.
§ 5.2. Основные понятия * 5.2а. Эргодичность
Для отображения Т среднее по времени значение любой функции / (л:) в
фазовом пространстве определяется следующим образом:
f(x) = lim -i- Nf!f(Tnx). (5.2.1)
N-* оо N п = О
Можно показать, что для почти всех л;: а) функция / (л:) существует; б)
функция / является инвариантной, т. е. не изменяется вдоль траектории:
/ (Тпх) ==] (х),
и в) фазовые средние функций f (х) я f (х) совпадают. Фазовое среднее
определяется соотношением
</)= J f(x)dp, (5.2.2)
ж.
где Ж- фазовое пространство системы размерности М, ар - инвариантная
мера, т. е. сф = Р (л;) dMx, где Р (х) - инвариантное
распределение. Для гамильтоновых систем в канонических пере-
менных х функция Р = 1. Метод получения инвариантных распределений в
диссипативных системах описан в § 7.3. Динамическая система называется
эргодической, если для почти всех х
292
Глава 5
/(*) = </>. (5.2.3)
Из этого определения ясно, что для эргодической системы среднее по
времени не может зависеть от х. Из произвольности функции / (дг) следует,
что эргодичность имеет место только в том случае, когда траектория
попадает во все области фазового пространства, т. е. подходит сколь
угодно близко к. любой его точке бесконечное число раз. Отметим, что
обратное утверждение неверно х). Если, например, система имеет
инвариантные поверхности, то она не является эргодической и называется
обычно разложимой 2), хотя у нее могут быть и стохастические области.
Свойство эргодичности зависит от того, на каком подпростран стве оно
определено. Так, автономная гамильтонова система не может быть
эргодической во всем фазовом пространстве из-за точного сохранения
энергии. Однако можно говорить о ее эргодичности на энергетической
поверхностй. Если существуют и другие интегралы движения, то система
может быть эргодической только на подпространстве, определяемом всФми
этими интегралами. В некотором смысле эргодичность оказывается
универсальным свойством, и основная задача сводится к определению
подпространства, на котором она существует.
Рассмотрим свойство эргодичности на примере движения на торе, задаваемом
отображением
Т (0Х, 02) = (0Х + со1( 02 + cd2), mod 2л, (5.2.4)
где а = со1/со2 - иррациональное число. Покажем, что в этом случае
движение является эргодическим на торе. Для этого разложим временное
среднее / (л:) в двойной ряд Фурье и сравним коэффициенты разложения
функции / (дг):
а - J ехр( - ik-x)f(x)dp
ж
и ее образа / (Тх):
Ь.- .1 ехр [ - ik (x - <о)1 f(x)d\x = exp(ik-to)a ,
Ж
где х = Тх. Из инвариантности функции / следует, что для любого k Ф 0
коэффициенты ak = bk = 0, если k ta Ф 0. Отсюда получаем, что для
иррационального а (k -сл Ф 0) только а0 ф 0, и функция / (дг) есть
константа, как и требуется для эргодичности.
Физически отображение (5.2.4) соответствует отображению поворота на
поверхности сечения 02 = const (индекс 1 опущен):
