Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
разрушается при К/ = 0,9716. При этом критерием разрушения служила
расходимость итераций для коэффициентов Фурье. Хотя полученное им
значение К находится в прекрасном согласии с результатом Грина, Персиваль
отмечает, что расходимость итераций может объясняться и появлением
резонансных знаменателей. Подробности этих исследований можно найти в
цитированных выше работах.
*§ 4.7. Заключение
В табл. 4.2 сравниваются различные критерии перехода от локальной к
глобальной стохастичности для стандартного отображения. Критерии
расположены в порядке возрастания их эффективности. Поскольку не
существует полной аналитической теории перехода к стохастичности, то чем
эффективнее критерий, тем более существен в нем элемент численного
анализа, необходимого для получения критического значения К- Поэтому все
критерии представлены также через более физическую характеристику - число
вращения a0 = 1/Qo Для целого резонанса 1), которое легко определяется
как численно, так и аналитически. Тот факт, что переход к глобальной
стохастичности почти точно совпадает с а0 = 1/6, может помочь более
глубокому пониманию этого явления. Для стандартного отображения критерий
а0 = 1/6 приводит с помощью (4.1.31) к критическому значению параметра
перекрытия
-2Д/маКс (4,7.1)
6/ 3
Если перекрываются резонансы несколько разной ширины, как, например, для
отображения Улама, то "правило двух третей" (4.7.1) можно обобщить
следующим образом:
(А/максй 4" (А/макс)2 ^ 2 у
е/1,2 ~ з 1 1
Для отображения Улама численно найденная граница стохастичности на рис.
3.15 согласуется с условием (4.7.2). Если же соседние резонансы
значительно отличаются по ширине, то оценки, полученные для стандартного
отображения, неприменимы. В случае
*) "Это утверждение спорно, поскольку а0 характеризует центр резонанса,
тогда как граница стохастичности определяется окрестностью сепаратрисы.
Приближенное совпадение критического К с Q0 = 6 остается необъясненным и
справедливо, возможно, только для стандартного отображения. Во всяком
случае, при перекрытии двух резонансов (§ 4.5) Q0 = 2k/X и изменяется в
широких пределах (см. рис. 4.12).- Прим. ред.
Переход к глобальной стохастичности
289
Таблица 4.2. Граница стохастичности для стандартного отображения
Критерий К "о'
1. Линейная устойчивость целых резонансов 4 2
2. Перекрытие целых резонансов (я/2)2 3-4
3. Уточненный критерий перекрытия 1,2в) 5-6
4. Перекрытие вторичных резонансов 1,2 5-6
5. Ренормализация для двух резонансов г> (a=ag) 1,2 5-6
6. Численные данные для стандартного отображения и отображения Улама
1,0 6
7. Вариационный метод (a=ag) 0,9716 6
8. Линейная устойчивость периодических точек с a"-"ag 0,9716 6
а) 1п+1~,п+К sin V, en+l-en+/n+r
б) Q0-номер гармоники вторичного резонанса;
cos (2я/<Э0)=1-К/2.
в) 1,06 с эвристическими поправками [70].
г) а-число вращения "последней" (самой устойчивой) инвариантной кривой
между целыми резонансами; <Xg=(Yo-1)/2 - "золотое сечение".
двух резонансов достаточно эффективную оценку можно получить графически
из рис. 4.12. Из данных на рисунке можно найти также число вращения а ^
(k + п)-1 (вообще говоря, а Ф ag), а значит, и значение J для последней
инвариантной кривой.
Результаты, полученные для отображения Улама с двумя гармониками
возмущения произвольной амплитуды [202] (см. 6.5.1), показывают, что даже
в случае значительной разницы амплитуд правило двух третей "работает"
удивительно хорошо. Критерий двух резонансов (рис. 4.12) в этом случае
также дает вполне хорошие результаты. Однако, поскольку в системе имеется
много различных резонансов, нужно очень аккуратно выбирать в интересующей
нас области фазового пространства два наиболее существенных из них.
Глава 5
СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И ДИФФУЗИЯ
§ 5.1. Введение
В области глобальной стохастичности, где не существует ограничивающих
движение инвариантных поверхностей, полное описание динамики системы, как
правило, невозможно. В этом случае, однако, можно использовать
статистическое описание и исследовать эволюцию средних величин, а не
отдельных траекторий [62, 424]. Такой подход лежит в основе
статистической механики (см., например, [327]).
Методы статистического описания, обсуждаемые в этой главе, существенно
опираются на ряд математических результатов, рассмотрение которых выходит
за рамки этой монографии. Однако определенное представление об этих
результатах все же необходимо. Математическая сторона дела изложена в
книге Арнольда и Авеза [14] х). Мы же обсудим эти вопросы в более
доступной форме (§ 5.2). Там же кратко затронуты вопросы "случайности в
детерминированных системах" и влияния ошибок округления на результаты
численного моделирования хаотического движения. В качестве физического
введения в эту область можно рекомендовать обзоры Форда [133], Берри [26]
и Хеллемана [180] 2).
Перечислим некоторые основные вопросы, возникающие при исследовании
стохастичности в динамических системах. Каким образом можно однозначно
