Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 103

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 742 >> Следующая

Qn = k И- (л -(- 6/г")
Кривые Y (X) непрерывно зависят от k, например, кривая с k = = 3/2
расположена примерно посередине между кривыми с k = 1 и k = 2. Можно
показать, что (k, X, Y) и {Mk, Y, X) определяют одну и ту же систему.
Поэтому рис. 4.12 представляет также слу-
286
Глава 4
чаи с k = 1/2; 1/3; 1/4. Для сравнения пунктирная прямая показывает
правило двух третей х); 5 = 2/3.
Эсканде и Довейл сравнили свои теоретические предсказания для границы
стохастичности с результатами численного моделирования системы (4.5.3).
Для Х/Y в интервале 1-5 и k в интервале 1 ч-4 предсказанные критические
значения 5 оказались на 3-МО % ниже численных 2). Было проведено также
сравнение с результатами Грина для стандартного отображения, гамильтониан
которого можно записать в виде (k = 1; Q = 1):
Л - . Y cos (яр-mt). (4.5.27)
2 16 т--оо
Критическое значение Грина К = 0,9716 соответствует S -
= 2д/КУл = 0,6275. Если оставить только два резонанса, так что
Я= --- --cos\j) -cos(v|3- t), (4.5.28)
2 16 16
то из данных на рис. 4.12 (для X = Y и k = 1) получаем 5
= 0,70
или К = 1,21 при
/->гЛо1 -\/ 5 - 1 1 3 - V5 1
Q = Qi = 2 Н -----------; а------= - 1-а".
2 ' Q 2 й
Это - одна из двух инвариантных кривых "золотого сечения",, найденных
Грином. Как и ожидалось, критическое значение S (или К) для двух
резонансов больше, чем для отображения, которое имеет бесконечное число
резонансов. Численное моделирование системы (4.5.28) дает 5 = 0,74. Это
не противоречит полученному на рис. 4.12 значению S - 0,70, если учесть,
что точность численного моделирования непрерывной системы значительно
хуже, чем для отображения.
Хотя описанный метод ренормализации и дает достаточно точное значение
границы стохастичности, он является приближенным. Основная погрешность
связана с тем, что на каждом шаге ренормализации учитываются только два
из бесконечного числа вторичных резонансов. Это ясно видно из сравнения
системы (4.5.27) с бесконечным числом резонансов и (4.5.28) с двумя
резонансами. В этом крайнем случае влияние дополнительных резонансов
приводит к заметному снижению критического значения с 5 = 0,74 до S = =
0,63. Другие источники ошибок, такие, как разложение только до
квадратичных членов в (4.5.15) или учет только некоторых зна-
А,
чений Qn, менее существенны.
В Существенно новый эффект, обнаруженный с помощью ренормализации,
состоит в значительном повышении критического параметра перекрытия S при
X > Y или X <j; Y. Это связано с "отталкиванием" слабого резонанса
сильным (подробнее см. в [117, 464]).- Прим. ред .
2) См. примечание редактора на с. 248.- Прим. ред.
Переход к глобальной стохастичности
287
Обобщение метода на автономные системы с двумя степенями свободы и
амплитудами М и Р, зависящими от импульсов, а также на области внутри
резонансов, является относительно несложным [118]. Последнее обобщение
позволит по-новому исследовать бифуркации периодических траекторий.
§ 4.6. Вариационные методы
Опишем теперь вкратце предложенный Персивалем [328, 330, 331 ] метод
нахождения инвариантного тора, когда он существует. Метод основан на
некотором вариационном принципе, похожем на примененный в п. 2.66 в
случае периодических траекторий. Здесь также удобно использовать
уравнения Лагранжа [330, 331, 228].
Следуя Персивалю [331 ], рассмотрим лагранжиан L (q, q) автономной
системы с N степенями свободы. Зададим инвариантный тор с помощью вектора
частот о>, а траекторию на нем - с помощью координат qы (0), где 0 -
угловые переменные на торе. Тогда вариационный принцип можно
сформулировать в виде
6Па-^Г' "о))"6(r)-0' <4'6Л>
причем to при варьировании остается фиксированным. Здесь (p-dq^/dQ = q, а
символ ( ) означает усреднение по всем угловым переменным. Следует
обратить внимание на близкое соответствие между выражениями (4.6.1) для
инвариантного тора и (2.6.25) для периодической траектории. Выполняя
варьирование, получаем уравнения Лагранжа:
<a.jL(JL-s\_JL-==0' (4.6.2)
50 V dq ) dq
Если qm (0) является решением (4.6.2), то [q^ ((at + 0О) определяет на
торе траекторию с начальной координатой qш (0О) и скоростью &-dq&ii30о.
При численном решении задачи разлагаем q(a в многомерный ряд Фурье по
угловым переменным
9^(0)= ZQ" ехр (йи.0) (4.6.3)
ш m
и оставляем некоторое конечное число членов. Подставляя (4.6.3) в (4.6.1)
и проводя варьирование по коэффициентам Фурье, получаем систему
алгебраических уравнений для Qm, которую можно решить итерированием.
Метод решения аналогичен описанному в п. 2.66, и мы не будем его здесь
повторять.
Этот метод применялся Персивалем и его учениками к некоторым нелинейным
задачам молекулярной динамики, в частности
288
Глава 4
для вычисления квазиклассических колебательных уровней энергии
многоатомных молекул [332, 333, 329]. Персиваль [331 ] также использовал
этот метод при нахождении перехода к глобальной стохастичности для
стандартного отображения. Он получил, что инвариантная кривая с а = ag
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed