Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 102

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 742 >> Следующая

функции. Это позволяет разложить Н в ряд Фурье
оо
Н = H0(J) - P 2 Uп (J) cos \(k~n) в-kQt}. (4.5.9)
п- - оо
Вторичные резонансы между гармониками частоты вращения со (Jп) и основной
частотой возмущения kQ удовлетворяют условию
(fe + л)со (Ул) - kQ = 0, (4.5.10)
причем для них
Q"= -=k+ п. (4.5.11)
со (Jп)
На рис. 4.11 приведен пример таких резонансов (k = 2) как в исходных
переменных /, ф, так и в переменных J, 9. Центр основного Л4-резонанса
расположен при Jm = 0, а режим вращения фазы ф
начинается выше его сепаратрисы для 4 -у/Л4,л. Возму-
щающий Р-резонанс (п = 0) расположен около Jр " / (точнее, со (Jp) = Q).
На рисунке также приведено несколько вторичных резонансов с n > 1 [см.
(4.5.10)], гармоника которых по 0 равна. Qn = k + п [см. (4.5.9)].
Рассмотрим инвариантную кривую вблизи J - J0, расположенную между
резонансами Л4 и Р, с
QW= -777 ¦ (4.5.12)
СО (Jo)
Пусть1'
Q>Jfe+l, (4.5.13).
так что кривая лежит между вторичными резонансами п и п - 1
(см. рис. 4.11), где пб> 1 - целая часть
z = Q-k = n-\- 8k, (4.5.14)
a 8k = [z}f - дробная часть 2. В дальнейшем нам будет удобнее
задавать п и 8k, а не Q.
') Если же Q < k + 1, то, переобозначив резонансы в (4.5.1), получим
Q > k + 1.
Рис. 4.11. Поверхность сечения системы (4.5.3) с двумя резонансами (М; Р)
и параметрами Х/Y = 1, S =- 0,4, k - = 2, Q = 1 (поданным работы [117]).
а - в исходных переменных /, ij;; б - - в переменных У, 0; С -
инвариантная кривая. Горизонтальная стрелка справа указывает значение Jg.
282 Глава 4
Переход к глобальной стохастичности
283
Для получения ренормализованного гамильтониана, соответствующего значению
Q, пренебрежем в (4.5.9) всеми вторичными резонансами, кроме п и п + 1.
Так как рассматриваемая система не вырождена, то изменение переменной
действия мало (см. п. 2.4а), и можно разложить Я0 по A J = J-J 0 до
квадратичных членов включительно:
Я " Я0 (J0) + (c) (Jo) A J -т G (/") (ДУ)*-- PUn (J0) cos [(k -f n) 0-kQt}
- PUn+1 (/0) cos {{k - n-'r 1)0-kQt],
Выберем в качестве основного резонанса М наиболее близкий к Q вторичный
резонанс и обозначим оставшийся резонанс через Р. Произведем каноническое
преобразование к таким новым перемен* ным I, ф, чтобы ренормализованный
гамильтониан
(4.0.1о)
где G-обычный параметр нелинейности:
(4.5.16)
(4.5.17)
принял вид исходного (4.5.3). При этом
ф = (/г + л + Я)0-kQt,
О _ (2Я - 1) kQ
(4.5.18)
(4.5.19)
(k + п + 1 - Я)
(4.5.20а)
k= (fe-f 1 - Я)
(4.5.206)
(k ti -f- Я)
М = рип+$ю, P=PUn+1_xfPG,
(4.5.20b)
(4.5.20г)
где снова п и 6й-целая и дробная части
z = Q-k,
Я{Щ - единичная ступенчатая функция:
(4.5.21)
284
Глава 4
И
о (k + п) {k -f- п - 1)
k
Уравнения (4.5.20) определяют ренормализационную группу ?Г: ГГ :(8k, п,
k, М, Р)-"-(8k, n, fe, Л4, Р),
т. е. отображение в пространстве параметров, которое допускает
последовательные итерации. Аналитическое исследование этого пятимерного
(негамильтонова) отображения связано с большими трудностями. Эсканде и
Довейл замечают, что 8k и п зависят только от 6к, и исследуют неподвижные
точки одномерного отображения
| (l-Я.-6ft) | > (4.5.23)
( (8k -Г) ) f
которое получается из (4.5.20а). Для неподвижных точек 8k" имеем 8kun= -
^((n2 + 2n + 5),/2 - n- l) =[n+ 1, n+ 1, n+ 1, . . . ],
(4.5.24a)
8k" = ((n2 + 4л)1/2- n) = [ 1, n, 1, n, . . . ], (4.5.246)
где скобки [ ] означают разложение в непрерывную дробь. В
этих
неподвижных точках с
Q - Qn = & + n-f- 8kxn (4.5.25)
отображение ?Г переходит в трехмерное отображение
X, У) -(*, X, У),
где X = 2jVЛ4/Й и У =[2 VР/Q имеют смысл относительной полуширины
резонансов. Отображение Жкп имеет две притягивающие точки: {kl, 0, 0) и
(а?, оо,оо) [117], где kfc- устойчивая неподвижная точка одномерного
отображения (4.5.206). Подставляя k = k = k\ в (4.5.206) и используя
(4.5.24), получаем для устойчивого (положительного) корня:
kxn = 6^+1-Д (4.5.26)
Если итерации отображения Ж%п для начальных (k, X, Y) и выбранного п (и
соответствующего ему 1) сходятся к первой притягивающей точке, то
значения X и Y в процессе ренормализации стремятся
к нулю и инвариантная кривая должна существовать. Если же
итерации сходятся ко второй притягивающей точке, то инвариантная кривая,
по-видимому, разрушена. На рис. 4.12 кривые Y (X) показывают границу
между двумя областями притяжения при фик-
Переход к глобальной стохастичности
сированном k. При заданном отношении Х/Y эти кривые дают максимальное (в
зависимости от п и X, а следовательно, и от Q значение параметра
перекрытия резонансов S = X + Y, для которого между резонансами М и Р еще
существует инвариантная кривая. Цифры в скобках указывают значения п, для
которых
Рис. 4.12. Зависимость Y от X для X = 1 и k - 1, 2, 3, 4 (по данным
работы [117]).
Числа в круглых скобках дают значения п.
достигается максимум S. Слева от крестов на каждой из кривых величина Qn
определяется согласно (4.5.25), а справа резонансы М и Р меняются
местами, поэтому вместо (4.5.25) имеем
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed