Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 101

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 742 >> Следующая

Видна фрактальная структура функции К(а).
бражения для трех первых поколений периодических точек. За исключением п
- 1 (целый резонанс), значения К (ах) для первого поколения (кружки на
рисунке) ложатся на гладкую кривую, симметричную относительно аг = 1/2.
Зависимости К (а) для второго и третьего поколений имеют аналогичную
форму, но на более мелких масштабах по а. Подобная масштабная
инвариантность характерна для фракталов (см. п. 7.1в).
Шмидт и Билек предположили, что максимальные значения К (и[) в разных
поколениях связаны соотношением
hf 1<:\' =Д,,
К i-i - Л/
(4.4.14)
Переход к глобальной стохастичности
279
где А; для больших / не зависит от I. Тогда из фрактальной диаграммы
можно найти условия разрушения инвариантных кривых между любыми
резонансами по относительно небольшому числу максимумов К (ai) первых
поколений. Соотношение (4.4.14) представляется правдоподобным по аналогии
с последовательностью бифуркаций как в диссипативных, так и в
гамильтоновых системах (см. п. 7.26 и дополнение Б). Шмидт и Билек
сравнили предсказания существования нескольких инвариантных кривых на
основе фрактальной диаграммы на рис. 4.10 с прямым численным
моделированием и получили хорошее согласие.
В заключение вкратце обсудим применение описанного метода в других
задачах. В простейшем виде этот метод был использован еще Лансфордом и
Фордом [286] в задаче Хенона и Хейлеса (см. п. 1.4а). Они исследовали
отображение на поверхности сечения для полной энергии Е = 1/12 и Е = 1/8
(см. рис. 1.13, б и в), используя линию симметрии ру = 0, проходящую
через основной резонанс. Критерием устойчивости служило условие /< 1, где
средний вычет определяется как f = | R |2/<?. Система резонансов высоких
гармоник и их периодических точек задавалась соотношением
m ± Uti sn
где целое m - фиксированное число, а п пробегает все целые положительные
значения больше 1. Поскольку такой выбор ап не дает сходимости к какому-
либо иррациональному значению а, величина / изменялась в широких
пределах, принимая максимальные значения вблизи целых резонансов, где
1/а" - целое число. При исследовании области вблизи резонанса пятой
гармоники (а" = = 1/5) оказалось, что для Е = 1/12 величина / падает ниже
1. В противоположность этому для Е = 1/8 величина / остается больше 1,
что означает разрушение инвариантных кривых в этой области. Позднее Грин
[166] установил, что разрушение инвариантных кривых вблизи этого
резонанса происходит при Е = = 0,118< 1/8. Мы видим, что даже такие
трудные для аналитического исследования задачи, как задача Хенона-
Хейлеса, все же поддаются решению описанным выше методом.
§ 4.5. Метод ренормализации для двух резонансов
Перейдем теперь к описанию метода [117, 118], позволяющего исследовать
разрушение инвариантных кривых между двумя произвольными резонансами.
Этот метод основан на изучении структуры фазовой плоскости вблизи
инвариантной кривой на все более мелком масштабе. При правильном выборе
исследуемой инвариантной кривой можно определить таким путем переход к
сильной (или "глобальной") стохастичности.
'280
Глава 4
Основой метода является последовательная ренормализация исходного
гамильтониана таким образом, что каждый новый гамильтониан сохраняет свою
форму, но при этом описывает резонансы все более и более высокого
порядка. На каждом этапе ренормализации принимаются во внимание только
два наиболее важных резонанса, лежащие по обе стороны от исследуемой
инвариантной кривой. Если параметр перекрытия этих резонансов стремится к
нулю в процессе ренормализации, то инвариантная кривая существует.
Следуя Эсканде и Довейлу, рассмотрим гамильтониан для частицы,
взаимодействующей с двумя волнами:
Hw= -- - V1cos(k1x-со^) - V2cos(k2x - (n2t), (4.5.1)
2m
и введем новые переменные
ф = /г1х-aj,
/ = plm-Vl-, (4.5.2)
г/2 - Щ
Q=&i (Vt - Vj),
где 1Д = <a1'k1 и и2 = со2//е3 - фазовые скорости волн. В новых
переменных гамильтониан (4.5.1) примет вид
Нг = - М соэф-Р cos/г (ф - Q/), (4.5.3)
где
Д
равно отношению волновых векторов,
(4.5.4)
т (с2 - щ)2
характеризует "основной" резонанс, а
С2
М= ^-------------------------------------------- (4.5.5)
т (t>2 - Их)2
(4.5.6)
- возмущение. Гамильтониан (4.5.3) описывает движение маятника,
возмущенного волной с частотой Q. Именно такая форма гамильтониана и
будет сохраняться при ренормализации. Для невозмущенной системы (Р = 0) с
гамильтонианом Н0 (J) переменные действия J и фазы 0 определяются
формулами (1.3.10) и (1.3.11), а частота вращения со (J) - соотношением
(1.3.13). В предельном случае равномерного вращения (М = 0)
(О (/) = / = /.
Переход к глобальной стохастичности
281
Исследуем теперь условия существования инвариантной кривой с обратным
числом вращения
- =Q(^)- -%- (4.5.7)
a со (J)
в присутствии возмущения. При этом гамильтониан принимает вид
H = H0(J) - Pcosk\^(J, 0)-Ш]. (4.5.8)
В случае вращения
'Ф = 0-гХ(^. 9)>
где х - периодично по 0 с периодом 2л и выражается через эллиптические
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed