Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
целого резонанса медленно диффундирует. Вследствие конечного числа
итераций неясно, существуют ли и другие инвариантные кривые,
ограничивающие эту диффузию. Однако при К = 0,9716 наблюдается совершенно
иная картина для инвариантной кривой с а = ag, а при К. = 0,975 эта
кривая уже, несомненно, разрушена, поскольку траектории диффундируют в
этом месте фазовой плоскости, хотя и очень медленно.
Грин вычислил значения / для подходящих дробей золотого сечения при К =
0,9716 и К = 0,9. Для сравнения эти результаты сведены в табл. 4.1, из
которой ясно виден переход от значений /< 1 при К = 0,9 к
асимптотическому значению / л; 1 при К = 0,9716. Обратим также внимание
на резкое изменение асимптотического значения R (для больших s) от
ничтожно малого в устойчивом случае до R = 0,25 на границе
стохастичности.
Таблица 4.1. Вычеты / и R в зависимости от r/s
о> о II К=0,9716
rn!sn t rnsn f R
2/3 0,93896 1/1 0,971635 0,24291
3/5 0,919959 1/2 0,971635 0,23602
5/8 0,92775 2/3 1,014042 0,26068
34/55 0,92427 3/5 0,993528 0,24201
55/89 0,92409 377/610 0,99999965 0,24995
89/144 0,92406 610/987 1,00000009 0,25002
144/233 0,92401а) 987/1597 0,9999970 0,24988
а) Я=2,5-10-!>.
Наглядную картину разрушения инвариантной кривой с а = ag можно получить,
откладывая периодические точки для последовательных пар подходящих
дробей. На рис. 4.8 сравниваются два случая: К = 0,95, для которого f
(ag) " 0,977, и К = 0,9716, для которого / (ag) " 1,000. Поскольку каждая
последующая подходящая дробь соответствует увеличению числа периодических
точек приблизительно в 1/а раз, а на каждом из рис. 4.8 используется пара
подходящих дробей, ограничивающих значение а сверху и снизу,
горизонтальный масштаб последовательно растягивается в (1/а)2 раз для
сохранения числа точек в выбранной области. Для облегчения визуального
анализа структуры периодических точек, которые ограничивают инвариантную
кривую с а = а?, вертикальный масштаб на рис. 4.8 также растягивается в
(1/а)4 раз. Из рисунка видно, что при К = 0,95 последовательные
приближения периодических точек равномерно сходятся к инвариантной кри-
276
Глава 4
вой. Напротив, при К = 0,9716 периодические точки обнаруживают все новую
и новую структуру на каждом последующем масштабе. Разумно заключить, что
в этом случае инвариантная кривая не существует х).
В заключение обсуждения метода Грина мы приводим на рис. 4.9
схематическую зависимость числа вращения а вблизи периодических точек от
их периода s. Для а>1/2 периодические точки не-
(c)
X X
х -xVx. *
_L_L_
б
Рис. 4.8. Периодические точки, соответствующие последовательным парам
подходящих дробей золотого сечения (по данным работы [165]).
а) К - 0,95; б) К = 0,9716.
устойчивы. При К С 1 а существенно меньше 1/6 даже для s = 1 (когда а =
а) и экспоненциально убывает с увеличением s. Последнее сохраняется для
любого /С <С 0,9716. Если же К = = 0,9716, то, как следует из табл. 4.1,
сГ = 1/6 (R = 0,25) для всех достаточно больших s. В этом случае все
периодические точки устойчивы, а отношение размера соответствующих им
резонансов к расстоянию между последовательными резонансами (s" и s"+1)
одинаково для всех п -у оо. При /</>0,9716 величина а растет и при
достаточно большом s периодические точки оказываются неустой-
а) Конечно, это не более чем наглядные соображения. В этом отношении
данные табл. 4.1 более убедительны (см. также рис. 4.9).- Прим. ред.
Переход к глобальной стохастичности
277
чивыми. Таким образом, горизонтальная прямая а - 1.6 на рис. 4.9
соответствует как раз критическому значению К¦ Этот результат
подтверждается исследованиями Эсканде и Довейла [117, 118], которые
описаны в § 4.5.
Рис. 4.9. Схематическая зависимость числа вращения а вблизи периодических
точек от их периода s.
Другой подход к исследованию системы резонансов высоких гармоник связан с
упорядочением соответствующих им периодических точек на границе
устойчивости с помощью фрактальных диаграмм [364 ]. Основная идея состоит
в разбиении всех периодических точек на последовательные поколения по
значению числа вращения а. Первые два поколения соответствуют г)
ах = -; а2 =--------------------- , (4.4.13)
п , 1
п ±-----
----------------------------------------------- т
х) Последовательные поколения дают разложение произвольного а = = [п, т,
. . .] в непрерывную дробь, для которой а; есть подходящие дроби.- Прим.
ред.
278
Глава 4
где п, т - любые целые (положительные и отрицательные) числа, кроме нуля.
С увеличением т периодические точки второго поколения приближаются к
сепаратрисе одного из резонансов первого поколения. Если же т = 1, то мы
попадаем, очевидно, в первое поколение. На рис. 4.10 показана зависимость
критического значения параметра К (ср) (граница устойчивости)
стандартного ото-
о <
( о /х \r~f-AJ к
( °° О о о О > Мг
о 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
а
Рис. 4.10. Критические значения К для устойчивости трех поколений
периодических точек стандартного отображения (по данным работы [364]).
