Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
непересекающиеся измеримые подмножества, то . 1
где ряд сходится сильно.
Если М(В)2 = М(В) для всех В^0(8Р), то М - ортогональное разложение
единицы (см. п. 1.1.3). Неортогональные разложения единицы (на ю
появились в работе Карлемана (1923), в связи с проблемой спектрального
разложения нееамосопря-женных операторов и были детально изучены в 1940-
60-е годы (см., например, [2], [30], [68]).
Теорема (М. А. Наймарк, 1940). Всякое разложение единицы в Ж может
быть расширено до ортогонального разложения единицы, т. е. существует
гильбертово пространство Ж^>Ж и ортогональное разложение единицы Е :
)-*¦(& (Ж) в Ж
такое, что
М(В) - РЕ (В) Р\ ВЩЖ), где Р - проектор из Ж на Ж. Если
Ж - сепарабельно, а 86 -, стандартно, то Ж можно выбрать сепарабельным.
Существует единственное с точностью до унитарной эквивалентности
минимальное расширение, характеризующееся тем свойством, что множество
{?(В)Рг)з; В?$(8?), \р&Ж) плотно в Ж.
Если существует ст-конечная мера |i, такая что ]|М(В)||^ ^Сц(В), то
М {B)=^P(x)v.(dx)\ (1.1)
в
где Р(х)-измеримая ограниченная функция со значениями в 8(Ж), называемая
плотностью М относительно меры |i (интеграл сходится в сильной
операторной топологии). Если dim Ж = = оо, то ортогональное разложение
единицы не может иметь плотности относительно" какой-либо a-конечной
меры.
Пр им ер. Переполненной системой [21], [6] в Ж называется семейство
{е*; х?8&}<^Ж, удовлетворяющее условию
m
> hi(rfx); ^Ж,
где fj, - некоторая a-конечная мера на J?(81?), т. е. ¦¦ ;
\;е(. ) (cxl y.((tx) I.
44
Частным случаем переполненной системы является полная ортогональная
система в 36, однако в общем случае векторы ех могут быть не ортогональны
и линейно зависимы. Всякий вектор ^36 имеет разложение
ч|"=$ (ex\<ip)exli(dx) (1.2)
зе
по векторам переполненной системы. Соотношение
М(В) = (ех \ p(dx) (1.3)
в
•определяет разложение единицы с плотностью Р(х) = \ех)(ех\. Дадим для
него явную конструкцию минимального расширения Наймарка (см. [78, гл.
8]). Определим ортогональное разложение единицы Е в 36=L2(9S, ц)
соотношением E(B)f(x) = lB(x)f(x)\ х^96,
где 1в(-) -индикатор множества В?&(96). В (1.2), (1.3) следует, что
соотношение
(1Л|;) (*) =<ех|г|з>
задает изометрическое вложение 36 в 36, причем
М(В) = V*E(B) V.
Образ V36 пространства 36 в L2(96, pi) является гильбертовым
пространством с воспроизводящим ядром Ж(х, у) ={ех\еу), т. е. проектор Р
из L2(9S, pi) на W36 является интегральным оператором с ядром Ж(х, у).
1.2. Обобщенная статистическая модель квантовой механики. Это
отделимая статистическая модель (см. п. 0.2), в которой состояния
описываются операторами плотности, а вещественные наблюдаемые -
разложениями единицы на ^(R) в гильбертовом пространстве 36.
Функциональная подчиненность наблюдаемых определяется соотношением (f°M)
(В) =М (f-1 (В)). Если 96 - измеримое пространство, то обобщенной
наблюдаемой (наблюдаемой) со значениями в 96 называется произвольное
(ортогональное) разложение единицы М на &(96). Распределение вероятностей
обобщенной наблюдаемой М в состоянии 5 определяется формулой
t"?(5) = TrSAf(5); ВЬЯ(%). (1.4)
Основанием для этих определений служит Предложение ([143, гл. 2]).
Соответствие являет-
ся аффинным отображением выпуклого множества квантовых состояний <5(36) в
множество вероятностных мер %(96). Обратно, всякое аффинное отображение
из <5(36) в ^(96) имеет вид S-^pi^ 5 где М - однозначно определенное
разложение единицы
на &(96).
45
Аффинность означает, что смесь состояний переходит в соответствующую
смесь распределений
PjV-Sj'
i 1
для любых р^О, 2/7,= 1, и имеет прямое истолкова-
ние в терминах статистических ансамблей. Можно сказать, что разложение
единицы дает наиболее общее описание статистики исходов квантового
измерения, совместимое с вероятностной интерпретацией квантовой механики.
Опираясь на теорему Наймарка, можно доказать, что для любого
разложения единицы М в 36 найдутся гильбертово пространство Эёч, оператор
плотности 50 в 36о и ортогональное разложение единицы Е в 36(r)360, такие
что
n"(^ = Tr(S(r)S0)?(5); ЯбЖЯ?), (1.5>
для всех SG<5(36) или М(В) = ^0(Е(В)), где S'o - условное ожидание
относительно состояния 50, определяемое аналогично формуле (1.3.1). Таким
образом, разложение единицы описывает статистику измерения обычной
наблюдаемой в некотором расширении исходной системы, содержащем
вспомогательную независимую систему в состоянии 50, что говорит о
согласованности понятия обобщенной наблюдаемой со стандартной
