Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
А*(а;), Yk = Y(bk) равно 2j/2, что противоречит неравенству и доказывает
предложение1^
В [114] указано общее неравенство
(AjK, -J- AiK2+ -^2^1 - ^2^2)2^41 - [А^, A2]*[Ki, Y2],
справедливое лля любых операторов, удовлетворяющих условиям (4.2), (4.3).
Из него вытекает как неравенство БКХШ (при [Х1г ^21 = [Л> К2] = 0), так и
граница
j[ X]Y] + Х1У2-{- X2Y\ - II ^ 2 1/2,
из которой видно, что в построенном примере неравенство БКХШ нарушается
максимальным- образом.
¦> Работы Дж. Белла стимулировали ряд экспериментов, в которых
нарушение неравенства БКХШ получило подтверждение (см., например, 114]).
Поскольку компоненты составной системы могут представлять собой
частицы, пространственно отделенные друг от друга макроскопическим
расстоянием, то описывающая их теория со скрытыми параметрами должна быть
существенно нелокаль-нойи. В работе Саммерса и Вернера [156] показано,
что положение не спасает и переход к локальной квантовой теории поля, где
неравенство БКХШ также нарушается максимальным образом.
4.3. Структура множества квантовых корреляций. В работе Б. С.
Цирельсона |48] было изучено выпуклое множество Сог(", пъ)
квантовопредставимых матриц C = [c/4fci'' ''m'
элементы которых представимы ка# корреляции cjk= { Xj, Yk } §
каких-либо квантовых наблюдаемых Xh ?h, удовлетворяющих условиям (4.2),
(4.3). Оказывается, что формально более сильное, чем (4.2) (и физически
содержательное), условие (4.1) приводит к тому же множеству
корреляционных матриц С. Это видно из доказательства следующей теоремы,
которая дает прозрачное геометрическое описание множества Сог(я, т).
Теорема. Матрица С принадлежит множеству Сог(п, т) тогда и только
тогда, когда в евклидовом пространстве размерности min(n, т) существуют
векторы аь ..., an; bj, ..., bm такие, что ||а^|^1, ||ЬЛ||^1 и arbh=cjk
для всех /, k.
Дадим набросок конструкции, существенной для доказательства. Пусть п)
-комплексная алгебра Клиффорда с п эрмитовыми образующими Xi.........Хп,
удовлетворяющими соот-
ношениям
Xj- I, X jX X ьХ j - 0; j, k = \ j=hk.
Поскольку элементы Xj(r)Xj алгебры & (n) &&(n) перестановочны и их спектр
состоит из ±1, то 1 является точкой спектра элемента
А = ±-{Хх(r)Хх+... + Хп(r)Хп)
(кратности 1). Пусть я - неприводимое представление алгебры ^(n)(r)W(n),
тогда в пространстве представления существует единственный с точностью до
множителя вектор if, такой что :я(Л)1р=т(). Доказывается, что
<-фjrt(A'(a)<g)^" (b))чр>=а-b; a, beRn.
Вектор if определяет состояние 5 в точном представлении алгебры & (п)
tQ'S'(п) такое, что
( ^ ji Yk ) ^ bfc"
'> По поводу нелокалыюсти в стохастической механике см. статью Э.
Нельсона [132].
42
где Xj = X (ay)(r)I, K* = I(r)X(b*) удовлетворяют условию (4.1), а значит, и
(4.2).
Из этой теоремы в [48} получено описание крайних точек множества
Сог(п, т), а также указаны неравенства, задающие множество Сог(2, 2).
Обозначая Cori (п, т) множество классически-представимых матриц С,
таких что
cik - SXj(a)) Yk(a)S(da),
где Xh Yk - случайные величины, такие что |Х*(м) |^1, |П(<в) |^1, имеем,
очевидно,
Cor! (/I, т)ССог(п, т).
Несовпадение этих множеств математически выражает свойство квантовой
целостности. Неравенство БКХШ задает граничную гиперплоскость, отделяющую
многогранник Cori(2, 2) от
1 Г1 П
квантово-реализуемой матрицы j_j еСог (2, 2). Естественно
поставить вопрос, насколько Сог (п, т) превосходит Corj (п, т). Пусть
К(п, т) -наименьшее число, обладающее свойством
Cor (п, т)аК(п, m)Cori(n, т).
Последовательность К(п, т) возрастает с ростом п, т. Как отмечается в
[48], из геометрического описания множества Сог (я, т) вытекает, что К =
Нш К (п., те) совпадает с известной
п,т~*- оо
в теории нормированных пространств константой Гроте"дика
Ко < --------" 1.782.
21п(1 + У2)
Глава 2
СТАТИСТИКА КВАНТОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
§ 1. Обобщенные наблюдаемые
1.1. Разложения "единицы. Пусть (SB, 9S(SB))-измеримое пространство.
В дальнейшем часто SB стандартное измеримое пространство, т. е.
борелевское подмножество полного сепарабельного метрического
пространства. Стандартные измеримые пространства одинаковой мощности
изоморфны (см., например, [160, гл. V]), поэтому с точки зрения теории
меры они эквивалентны борелевским подмножествам вещественной прямой R.
Разложением единицы в гильбертовом пространстве Ж называется
нормированная положительная операторнозначная ме-
43
ра на 3S(9?), т. e.функция множеств Ш Щ32)->%{Ж), удовле-i творяющая
условиям: , '
1) М(В) - положительный оператор в Ж для любого
2) Если {В,} - конечное или счетное разбиение 88 на попар-. но-
