Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
взаимной однсг-значности входит тогда в прямое противоречие с квантовым
свойством дополнительности !). Отсюда вытекает, что в теориях
ч Если dim 3J?=2, то наблюдаемые с кратным спектром - это постоянные
величины; тогда такого противоречия не возникает, и теория со скрытыми
параметрами, удовлетворяющая условиям доказанного предложения, строится
явным образом [66].
38
со скрытыми параметрами следует оставить возможность для различных
классических представлений одной и той же квантовой наблюдаемой (такого
рода теории Дж. Белл назвал контекстуальными). Аналогичное замечание
можно отнести и представление квантовых состояний. А. С. Холево дал явное
описание такой формальной конструкции, сохраняющей структуры
статистической модели [45], [101].
Предложение. Пусть 36- гильбертово пространство. Существует измеримое
пространство Q и отображения X((o)->-J? некоторого множества случайных
величин на 0(2$) и S(da)->-S некоторого множества вероятностных мер на
<ё(3в) такие, что
1) Если Sj(da)^ySj и {pj} - конечное распределение вероятностей,
то "^PjSj]
j A j
2) Если А"-* А- и / -борелевская функция, то /(А" (со))
3) Если Х((о)->-Х и S(da)-*-S, то
jj *(<D)S(rf<D) = Tr5A\
В случае dim 36^3 отображения Х(а)->-Х, S(da)->~S с необходимостью не
являются взаимно однозначными. Этот результат показывает, что принцип
дополнительности препятствует классическому описанию квантовой статистики
лишь при дополнительном требовании взаимной однозначности (неконтек-
стуальности).
4.2. Скрытые параметры и квантовая целостность. Рассмотрим
квантовую систему, состоящую из двух компонент Ж\, Ж%. Чистые состояния
такой системы задаются единичными векторами ^Ж\(r)36г, которые являются
линейными комбинациями (суперпозициями) факторизуемых векторов <S>^2-
Если =o])i<g)ij)2, то обе компоненты системы находятся в однозначно
определенных чистых состояниях; если же нефакторизуемо, то между
компонентами обнаруживаются специфические корреляции, которые невозможно
смоделировать никаким классическим механизмом случайности. На это обратил
внимание Белл, показавший, что даже в контекстуальной теории со скрытыми
параметрами нельзя удовлетворить естественному требованию, названному им
"эйнштейновской локальностью" [66]п. Обсудим близкое, но более общее
условие разделимости
145].
*> В этой связи см. также статью Э. Вигнера "Скрытые параметры и
квантовомеханические вероятности" в сб. [И].
39
Рассмотрим наблюдаемые
Xj = X{P(r)iw, jk=\.
Yk^iO)(r)yf\ k = \, ..., т, <4Л>
где I(/') - единичный оператор в М-г так что
[Xj, Ук] = О, (4-2)
т. е. каждая наблюдаемая Xj совместима с каждой У*. Поэтому
для любого состояния 5 в Эвх(r)Ж2 определены квантовые
корреляции < X:, Yk> " Матрица С = [ < X), Yk )
ft=l т
описывает статистические результаты пт различных экспериментов, вообще
говоря, несовместимых между собой.
Предложение. Пусть п, т>2. Не существует измеримого пространства Q и
отображений 5(с?со)->-5, X ((¦>)->- X таких, что:
¦;
1) если Л'(со)то %(со)б$р^;
2) для любого 5 и любых ХП\ Yx, ...,Ym вида (4.1)
найдутся Xj (со), Y к( со) такие, что А!" у (со) -> Yk (со) / k и
< Xj, Yk )§ = ^^(со)КДсо)5(с?со); У = 1, k = l
а
для какого-либо S(dco)->-S.
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем п = = /ге = 2.
Рассмотрим наблюдаемые Хи Х2, ^2 вида (4.1) и
такие, что
||*,.|!<1, 11ГЙ||<1. <4-3>
Предположим, что указанные отображения существуют и пусть Xh Yh -
соответствующие случайные величины на вероятностном пространстве (Q,
^(Q), S(dco)). В силу условия 1), l^i(co) |<1, I У"(со) |<1, откуда
(со) У] (со) +^i (со) Уг(со) +^г((о) Yi (со) -А'г(со) Уг(со) ^2,
соб?2,
Усредняя по 5 (rfco) и используя условие 2), получаем неравенство Белла
-Клаузера-Хорна - [Лимони (БКХШ)
( A,, Yx ) ?.+ ( Л,, Y2) § + ( Х2, Yi ) -- { Х2, Y2) * <2. (4.4)
Остается указать квантовые наблюдаемые Х}, и состоят ние S, для
которых неравенство (4.4) нарушается. Рассмотрим систему из двух частиц
со спином 1/2, так что dim Жх = dim5^2 = 2- (см. п. 1.6). Пусть S -
чистое состояние состав^
40.
ной системы с вектором v с
г|>= у=- Ki (е}(r)г|>2 (- е) - ^ (- е)(r)^ (е)],
где фу(е) -единичный вектор у-й компоненты, описывающий полностью
поляризованное состояние с направлением спина е. Положим
Л'(а) = Л"(1)(а)(r)1(2), Y (Ь) = 1(1)(r) л'(2)(Ь),
где Я"(у)(а) - наблюдаемые спина в 2f&j (см. п. 1.6). Корреляции между
компонентами имеют вид
_<^(a),f(b))i='<^|A(,>(a)(r)x!2)(b)i|j)=^a.b.
Пусть векторы а^, Ь* образуют конфигурацию, обозначенную на рисунке,
тогда значение левой части неравенства (4.4) для наблюдаемых А'у =
