Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
моментов всех порядков.
В ряде работ рассматривался случай слабо зависимых наблюдаемых. М. Ш.
Гольдштейн доказал сходимость к нормальному распределению в случае
последовательности вещественных наблюдаемых Хп, • • ..
удовлетворяющей условиям сла-
36
бой зависимости " асимптотической перестановочности типа ус-* ловия
Розенблатта (см. обзор В. В. Аншелевича и М. Ш. Гольд-, штейна в сборнике
[34] и книгу Т. А. Сарымсакова [31]). Обобщение результатов фон
Вальденфельса об асимптотической ква-зисвободности на случай слабо
зависимых слагаемых даны в работе Аккарди и Баха [53] (алгебру S3 в этой
работе следует считать коммутативной)-. Наиболее полный результат для
слабо зависимых (перестановочных) слагаемых получен Годерисом,1 Вербером,
Ветсом [92]. Следует отметить, что истоком работ [90], [92] послужили
известные работы Хеппа и Либа о флуктуациях в мазере Дикке, которые дают
некоторую физическую мотивацию квантовой центральной предельной теоремы
для перестановочных слагаемых,- ^ - ...
Различные алгебраические обобщения центральной предель-7 ной теоремы
(связанные, в частности, с понятием безграничной, делимости)
рассматривались также Хегерфельдтом [97], Парта-сарати и Шмидтом [138],
Фаннесом и Куагебером (статья в сборнике [Н2]).
§ 4. Проблема скрытых параметров
Проблема скрытых параметров - это вопрос о принципиальной возможности
описания квантовой механики в терминах классического фазового
пространства. Несмотря на устоявшееся среди физиков мнение о
невозможности такого описания, конструирование теорий со скрытыми
параметрами не прекращается (одной из недавних и наиболее интересных
попыток является стохастическая механика [132]). Этой проблеме посвящена
обширная литература (см., например, [14]). Здесь мы ограничимся
обсуждением наиболее существенных логических
аргументов против "скрытых параметров".
4.1. Скрытые параметры и квантовая дополнительность. С
математической точки зрения в проблеме скрытых параметров речь идет о
возможности установления соответствий
S(c?co)->-S, Х(со)->-Х между классическими состояниями, т. е.
распределениями вероятностей S(diо) на измеримом "фазовом пространстве"
(?2, &(Q)) и операторами плотности S в гильбертовом пространстве Зв
квантовой системы, и между случайными величинами Х(со) и наблюдаемыми X в
Ж, которые воспроизводили бы статистические предсказания квантовой теории
и удо-: влетворяли некоторым физически мотивированным условиям.
Такими условиями, естественно возникающими из общего понятия
статистической модели (-п, 0.2), в первую очередь являются, сохранение
функциональной подчиненности в пространстве наблюдаемых, а также выпуклой
структуры в множестве состояний. Обзор с этой точки зрения основных
"доказательств невозможности" скрытых параметров дан в [45]. Так,
результаты
37
Белла [66] и Кошена, Шпеккера [115] равносильны следующему утверждению.
Предложение. Пусть dimЗё^З. Не существует однозначного отображения Х-
^Х(а) множества наблюдаемых 0(<Ж) в множество случайных величин на каком-
либо измеримом пространстве й, удовлетворяющего условию:
1) если ^->-Х(со), то для любой борелевской
функции f.
Доказательство. Можно считать, что dim<5{?*<°°. Пусть такое
отображение существует, тогда из 1) выводятся следующие свойства
2) X(co)6SpX для любого to6Q;
3) Если .АГ, -совместимые наблюдаемые и X ¦ -> Xj{a), то
J J
Фиксируем собй и рассмотрим функцию проекторов ц(?) = ~?(со), где Е-
^Е(оз). Из 2), 3) вытекает, что ц является вероятностной мерой на @(50),
принимающей только значения 0,1. По теореме Глисона |а(?)=Тг5?, где S -
оператор плотности, но такая функция не может быть двузначной мерой.
Недостаток аргументации фон Неймана [26] состоит в том, что он
требовал выполнения свойства 3) для произвольных, а не только совместимых
наблюдаемых Рассуждение с аддитивностью средних значений, которое он
привел для обоснования этого требования, по существу, заранее исключает
теории со скрытыми параметрами [45], [14].
Приведенное выше доказательство означает невозможность введения
скрытых параметров по схеме частичной наблюдаемости, реализуемой,
например, в классической статистической механике, где имеется взаимно
однозначное соответствие между "макроскопическими" наблюдаемыми и
некоторыми функциями на фазовом пространстве. Однако оно не исключает
более сложных конструкций, в которых одна и та же квантовая наблюдаемая X
может быть измерена множеством разных способов и соответствие А^(со)->-Х,
таким образом, не взаимно однозначно. На самом деле в квантовой механике
имеется по крайней мере столько различных способов измерения наблюдаемой
X, сколько есть представлений X=f°? в виде функций от других наблюдаемых
Р. Если X имеет кратное собственное значение, то заведомо найдутся
несовместимые наблюдаемые ?i и ?2 такие, что Х-[1о?1 - [2°У2- Требование
