Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 18

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 64 >> Следующая

относительно состояния S = Si(r)52. В квантовой теории вероятностей
условные ожидания играют меньшую роль, чем в классической, поскольку в
общем случае условное ожидание на данную подалгебру Э относительно
данного состояния 5 существует лишь при весьма ограничительном
соотношении между 89 и S, в определенной мере, сводящем ситуацию к
классической; точнее см. п. 3.1.3.
Если 5 - произвольный оператор плотности в Ж\(r)Ж2, то в Ж\ найдется
единственный оператор плотности 5Ь такой что
Tr SiA = Tr S(*<8>12); X№(3&i).
34
Это же верно для любой линейной комбинации операторов плотности, т. е.
для любого ядерного оператора Т в Отобра-
жение T-*-Ti называется частичным следом оператора Т (обозначается
Тi=Tr^2 Т). Операция частичного следа аналогична нахождению маргинального
распределения в теории вероятностей.
3.3. Независимость и предельные теоремы. Рассмотрим сначала
ситуацию, соответствующую одномерной центральной предельной теореме в
теории вероятностей. Пусть S - фиксированное состояние. Вещественные
наблюдаемые Хи ..., Х", ... называются независимыми, если
Ея(ф1№1)'...фя,№т))= (3.2)
= Ев(ф1№1))\..'Ея(фт(*)т)) для любых m = 1, 2, ..., любых
ограниченных борелевских функций ф1, .. ., фт и любых номеров /i, ...,
/т, таких что j^ji при k?=l. Предполагается, что Xj одинаково
распределены и имеют второй момент, причем Ев(Х,-)=0, Ds(Xj) = l. Что
можно сказать о предельном распределении нормированных сумм
= А,?
Если Х\, ..., Хп, ...- попарно перестановочны, то
exp it(Xi-\-... +Хп) =ехр itX{ ... exp itXn; tGR., (3.3)
и применение характеристических функций сводит вопрос к классической
центральной предельной теореме, со стандартным нормальным распределением
в качестве предельного. В общем случае (3.3) не выполняется и предельное
поведение сумм существенно зависит от алгебраических свойств
последовательности слагаемых. Пусть, например, Х\, ..., Хп, ... -
антипере-становочны в том смысле, что
XjXk=-XhXj при j?=k.
Тогда прямой подсчет (в предположении конечности 4-го момента Xj)
показывает, что
Ея (S"*) - (Ee (Sn2)) 2-Ю,
откуда следует, что Sn2->-l по вероятности. Поскольку Ея(5") = =0, то
распределение 5" стремится к симметричному распределению Бернулли,
сосредоточенному в точках ±1". Это согласуется с наблюдением, что
распределение Бернулли устойчиво относительно сложения
антиперестановочных наблюдаемых (п. 1.6).
Богатство новых возможностей, открывающихся в некоммутативной теории,
демонстрируют понятие свободной независимо-
'> Это рассуждение сообщено автору В. фон Вальденфельсом.
3*
35
.спи и соответствующая предельная теорема, открытые Войку-. леску [162]
(см. также Шпайхер [151]). Вещественные наблюдае-.мые Хи ., А^й . . .
называются свободно независимыми, если .соотношение (3.2),;выполняются
длявсех номеров /ь .. ., та-.ких что jkf ik+u Л= 1. • • •> т- 1.
Теорема. Пусть X, - свободно независимые наблюдаемые, /=1, ..., п, ....
Пусть Xj одинаково распределены и ЕЙ(Х3-)- 0, Ds(Z;) = l/4. Тогда
распределение нормированных сумм Sn сходится при п-*-оо к полукруговому
закону Вигнера с .плотностью
Доказательство этой теоремы методом моментов требует довольно сложных
комбинаторных подсчетов. Другой метод доказательства - использование
преобразования Коши, которое играет роль логарифма характеристической
функции для сво-'бодно независимых величин [163].
При переходе к многомерной предельной теореме возникает принципиально
новая ситуация, обусловленная возможностью различных алгебраических
соотношений между компонентами каждого из слагаемых. В работе Кашена,
Хадсона [77] (соответственно, Хадсона [106]) предполагается, что
компоненты слагаемых подчинены каноническим коммутационным (антикоммута-
ционным) соотношениям и доказывается, что состояния, описывающие
нормированную сумму, сходятся к квазисвободному состоянию канонических
коммутационных (антикоммутационных) соотношений, т. е. к квантовому
гауссовскому (бернуллиевско-му) состоянию. При этом в случае
антикоммутационных соотношений вместо обычного тензорного произведения
алгебр, порожденных компонентами каждого слагаемого, необходимо
использовать так называемое градуированное тензорное произведение,
обобщающее понятие антиперестановочности. Более интересны результаты
работ Гири, фон Вальденфельса [90] и Вальденфель-са [164], в которых
показано, что квазисвободное состояние на алгебре канонических
коммутационных (соответственно, антикоммутационных) соотношений возникает
в квантовой центральной предельной теореме без априорных предположений об
алгебраической природе слагаемых, а лишь в зависимости от выбора обычного
(или градуированного) тензорного произведения. Однако метод
доказательства в этих работах, основанный на вычислении моментов,
предполагает ограничительное в аналитическом плане условие существование
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed