Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 16

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 64 >> Следующая

относительно Vx, Uv. Неприводимым является представление Шрёдингера в
<5$=L2(R)
У*Ч>(!)=Ф(6-*). ад|)=е;(tm)ЬМЮ-
В этом представлении Q задается оператором умножения на а Р - оператором
Операторы Р, Q имеют общую плотную инвариантную область определения и
удовлетворяют на ней ККС Гейзенбергап:
[Р, Q] = il. (2.11)
Операторы Р, Q называются каноническими наблюдаемыми. Обратный переход
от соотношения Гейзенберга к соотношению Вейля (экспоненциирование) имеет
ряд аналитических тонкостей, связанных с неограниченностью операторов Р,
Q и породил обширную математическую литературу (см. Йоргенсен, Мур
[112]).
Принципиальное значение для квантовой механики имеет тот факт, что ККС
определяют канонические наблюдаемые Р, Q практически однозначно.
Теорема (Стоун-фон Нейман, 1931). Всякое сильно непрерывное
представление ККС является прямой суммой неприводимых представлений,
каждое из которых унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера.
В частности, в любом представлении ККС операторы Р, Q, как и в
представлении Шрёдингера, неограничены и имеют лебегов спектр,
простирающийся на всю вещественную прямую. С этим связана известная
трудность с установлением разумного принципа соответствия в квантовой
механике. Вопрос состоит в определении канонически сопряженных квантовых
наблюдаемых, аналогичным обобщенным координатам и импульсам в
'> Соотношение (2.Ill) впервые было рассмотрено в 50-х годах прошлого
века ирландским математиком Грейвсом, который развил соответствующее
символическое исчисление.
30
гамильтоновом формализме квантовой механики, и связан с.-проблемой
квантования классических систем. Так, в классической механике время и
энергия, подобно координате и импульсу, являются канонически сопряженными
величинами. Однако наблюдаемая энергии Н имеет ограниченный снизу спектр,
поэтому из теоремы Стоуна-фон Неймана вытекает, что не существует
самосопряженного оператора времени Т, которым был бы связан с Я
каноническим коммутационным соотношением. Эти трудности, возникающие и
для других канонических пар, разрешаются в рамках обобщенной
статистической модели квантовой механики (см. гл. 2, § 3).
Аналогично формулируются ККС для систем с произвольным числом
степеней свободы. Пусть {Z, А} - симплектическое пространство, т. е.
вещественное линейное пространство с билинейной кососимметричной формой A
(z, z'); z, z'&Z. Представлением ККС называется семейство z-+W (z)
унитарных операторов в гильбертовом пространстве Ж, удовлетворяющее ККС
Вейля- Сигала
W (z]W (г/) = ехруА (z, z')W (z + z'). (2.12)
Если форма А невырождена, a Z конечномерно, то оно имеет четную
размерность d, и существует базис, в котором
с1
A (Z, 20 = 2 (х]У) - х)У])-
При этом операторы сильно непрерывного представления Вейля записываются в
виде
d
W (z) = exp i 2 (XjPj + iJjQj), (2.13)
;=i
где самосопряженные операторы Ph Q, удовлетворяют многомерному аналогу
ККС Гейзенберга (2.11)
[Р" Q*J =?6ja I; [Ри Pk\ = 0, [Qj, QJ=0.
В этом случае теорема единственности Стоуна-фон Неймана сохраняет силу.
Для систем с бесконечным числом степеней свободы единственность
нарушается и существует континуальное множество неэквивалентных
представлений, что является причиной "инфракрасных расходимостей" в
квантовой теории поля (см. [7], [32], [51]).
Неединственность представлений ККС тесно связана с неэквивалентностью
вероятностных мер в бесконечномерных пространствах и послужила одним из
первоначальных стимулов для изучения этого вопроса, занимающего большое
место в классической теории случайных процессов.
31
2.4. Гауссовские состояния. Неравенство (1.9) и ККС (2.11)
влекут соотношение неопределенностей Гейзенберга
Ds(P)Ds(Q)>l/4, (2.14)
из которого видно, что не существует состояния 5, в котором Р и Q
одновременно принимали бы некоторые точные значения с вероятностью 1.
Состояния, для которых в (2.14) достигается равенство, называются
состояниями минимальной неопределенности. Это чистые состояния Sx ",
определяемые векторами
"= WXf про, о; (х, u)6R2, (2.15)
где гро, о - вектор основного состояния, в представлении ТТТрё-дингера
имеющий вид
¦фо, о(|) = (2яа2)" 1/4ехр(-?2/4о2).
Состояния Sx v характеризуются тремя параметрами
a2 = DsXiV (Q) - f4D^<o (P)]-1.
При фиксированном ст2 векторы грж, v образуют семейство, известное в
квантовой оптике как семейство когерентных состояний [12], [21]. Для этих
состояний
( Q-E^iB(Q).I, P-E5^(P).I ) ^ = 0. (2.16)
Более широкий класс образуют чистые состояния, для которых достигается
равенство в соотношении неопределенностей (1.9) (для Р и Q), но условие
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed