Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовая вероятность и квантовая статистика" -> 15

Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика — ВИНИТИ, 1991. — 132 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaveroyatnostikvantstatistika1991.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 64 >> Следующая

эквивалентно преобразованию (2.2) наблюдаемых. В первом случае говорят о
картине Шрёдингера, а во втором - о картине Гейзенберга.
Пусть G- группа и - представление G в группу сим-
метрий <В(Ж), так что
S2&G.
Если G - связная топологическая группа, а представление g-непрерывно, то
4яg представляется в виде
4g(S) = UeSUg*,
где g-g - проективное унитарное представление группы G в пространстве Ж,
т. е. операторы Ug унитарны и удовлетворяют уравнению
UgiUg2 = (g\, g2(2.3)
где co(g'b g2) -множитель представления - комплексная функция,
удовлетворяющая определенным алгебраическим соотношениям (см., например,
Варадарайан [160]).
2.2. Однопараметрические группы. В случае G = R, как показали Вигнер
и Баргманн, всегда можно выбрать co(gi, g2) = h так что
однопараметрическая группа симметрий определяется унитарным
представлением R в Ж.
Теорема (Стоун, 1932). Пусть t-+Ut, ^6R - сильно непрерывная группа
унитарных операторов в Ж, так что
UtJJtz = Utl+t2\ t\i t?R.
Тогда существует самосопряженный оператор А в Ж, такой что Ut = eHA.
Обратно, для любого самосопряженного оператора А семейство eitA, f6R,
образует сильно непрерывную однопараметрическую группу.
Итак, предположив, например, что статистическое описание изолированной
квантовой системы инвариантно относительно выбора начала отсчета времени,
мы приходим к выводу, что в Ж существует самосопряженный оператор Н
такой, что состояние системы в момент времени t описывается формулой
St = e~iHtS[;eiHt. (2.4)
Оператор Н называется гамильтонианом (или наблюдаемой энергии) системы.
Из (2.4) следует уравнение эволюции (в картине Шрёдингера)
;^ = [Я, 5,]. (2.5)
Если So=|ij)o> <^о| -чистое состояние, то St = |af>t> <i])( |, где {iff}
- семейство векторов в Ж, удовлетворяющее уравнению Шрёдингера
rfik t
*тг=я^- <2-6>
28
Как правило, Н - неограниченный оператор (полуограничен-ный снизу), так
что в соотношениях (2.5), (2.6) следует позаботиться об областях
определения.
Уравнение эволюции в картине Гейзенберга имеет вид
Аналогично, из предположения о пространственной однородности вытекает
существование самосопряженного оператора Р, такого что состояние
квантовой системы в системе отсчета, сдвинутой на расстояние х вдоль
данной координатной оси, определяется уравнением
Оператор Р называется оператором импульса вдоль этой оси. Вообще, всякой
однопараметрической группе симметрий геометрического или кинематического
характера отвечает самосопряженный оператор, порождающий по формулам типа
(2.4), (2.7) преобразования квантовых состояний.
2.3. Соотношения Г. Вейля. Кинематика нерелятивистских систем как
классических, так и квантовых, основана на принципе относительности
Галилея, согласно которому описание изолированной системы одинаково во
всех инерциальных системах отсчета. Пусть WXjb - унитарный оператор,
порождающий преобразование состояний при переходе в систему отсчета,
сдвинутую на расстояние х и движущуюся относительно исходной со скоростью
v вдоль выделенной координатной оси. Тогда (х, v) ->-Wх, v есть
проективное представление группы G = R2 в гильбертовом пространстве Ж.
Можно доказать, что соотношение (2.3) приводится к виду
где т - вещественный параметр (связанный с массой частицы) и далее строго
положительный. Выделяя однопараметрические подгруппы - группу
пространственных сдвигов VX=W^0 и группу "галилеевых бустов" UV=W0 т
соотношение (2.8) можно переписать в виде
причем W x>v = eimxv^V XU v. Соотношение (2.9) называется каноническим.
коммутационным соотношением (К КС) Г. Вейля [10].
Согласно теореме Стоуна,
где Q, Р - самосопряженные операторы в Ж. Рассматривая Q как вещественную
наблюдаемую, заметим, что соотношение
Sx = e~iPxS0eiPx.
(2.7)

X 1 -\-X2 J V '

(2.8)
UvVx = elmxvVxUv\ x, ^6R,
(2.9)
Uv = eimvQ, Vx = e~ixP
29
(2.9) равносильно уравнению
V*E(B+x)Vx=E(B)\ 56^(R) (2.10)
для спектральной меры Е оператора Q. Это же равносильно тому, что
распределение вероятностей наблюдаемой преобразуется ковариантно при
пространственных сдвигах (2.7):
+ (Я); fie#(R),
для любого состояния S0. Это дает основание назвать Q наблюдаемой
координаты вдоль выделенной оси. Симметричное рассуждение показывает, что
Р/m есть наблюдаемая скорости изолированной квантовой системы.
Представлением ККС считается любая конкретная пара (V, U),
удовлетворяющая соотношениям (2.9). Представление называется
неприводимым, если в 36 нет замкнутого подпространства, инвариантного
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed