Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
согласованные с состоянием р (в отличие от классического случая,
это является сильным ограничением). Квантовый случайный процесс
называется марковским, если
Е ie=R. (2)
Для марковского процесса можно ввести отображения алгебры
$Фо в себя по формуле
ФДХ] = Е0]/ДХ), lei, (3)
Семейство отображений {Фд (eR+| образует марковскую полугруппу,
дающую замкнутое описание субдинамики открытой системы S&Q.
Обозначая через 9? производящий оператор полугруппы, имеем
марковское управляющее уравнение (аналог дифференциального
уравнения А. Н. Колмогорова) для эволюции наблюдаемой Xt =
Фt[X]:
^L = 9[Xt], Х0 = Х. (4)
Хронологически упорядоченные корреляционные ядра для О С t\ < ...
<. tn выражаются через Ф/ и начальное состояние ро = р|^о согласно
"квантовой регрессионной теореме"
и, <"(* -г.: г, У")"
Важнейшим (существенно некоммутативным) свойством,
позволяющим разобраться в структуре марковских полугрупп,
является полная положительность отображений Фь Отображение Ф
из С*-алгебры М- в С*-алгебру % называется вполне положительным
(см., например, [8]), если всякая положи
От переводчика
9
тельная матрица [Xjk) с элементами X-Uk^s3 переходит в по-
ложительную матрицу [Ф[Аг/й]] с элементами из 38. Автоморфизмы
и условные ожидания вполне положительны; это свойство
наследуется и отображениями (3). Введенное в 50-х годах в
математической работе Стайнспринга понятие вполне
положительного отображения стало играть ключевую роль в теории
открытых квантовых систем.
Опишем круг вопросов, рассмотренных для марковских
процессов и полугрупп. Еще до появления общего определения
квантового случайного процесса и формулировки марковского
свойства, марковские полугруппы были детально изучены в случае
s&o = 38(36) (алгебра всех ограниченных операторов в
сепарабельном гильбертовом пространстве 36), где они получили
название квантовых динамических полугрупп. Ставший уже
классическим результат Линдблада [8] (в конечномерном случае
полученный независимо Горини, Коссаковскнм и Сударшаном)
утверждает, что производящий оператор непрерывной по норме
квантовой динамической полугруппы имеет вид
Z[X] = i[H, x\ + YJ{y]xvi-\v]vix-\xv]v), (6)
i
где Я, X V)V, <= 38 (36). В полной общности для сильно не- 1 ' '
прерывных полугрупп проблема характеризации производящего
оператора не решена по сей день; некоторые результаты в этом
направлении содержатся в статье Браттели.
Большое внимание уделялось строгому выводу полуфено-
менологических кинетических уравнений из гамильтоновой
динамики полной системы (см. обзор [9]). На эту проблему можно
взглянуть и с другой стороны - допустим, что имеется некоторое
управляющее уравнение марковского типа, дающее
феноменологическое описание динамики открытой системы. Можно
ли "расширить" данную открытую систему до некоторой полной
динамической системы, подчиняющейся обратимой эволюции? Связь
между исходной марковской полугруппой {Ф<} и обратимой
динамикой {at} должна даваться проекционным соотношением типа
(3), включающим, быть может, некоторый предельный переход
(предел слабого или сингулярного взаимодействия с резервуаром).
Если ставить вопрос о чисто математической возможности такого
расширения, то он имеет положительное решение [10]. Интересно,
однако, найти расширения, допускающие физическое истолкование.
В этом плане вопрос рассматривается в статье Льюиса и Маассеиа и
в статье Кюммерера.
Сильный аналитический метод, позволяющий, в частности, строить
нетривиальные классы квантовых марковских случай
10
От переводчика
ных процессов и расширений динамических полугрупп, дают
бозонное и фермионное стохастические исчисления, развитые
Хадсоном и Партасарати (фермионное стохастическое исчисление
разрабатывалось также Стритером с сотрудниками, см. [3], [7]). В
этой статье получены некоммутативные аналоги формул Ито и
Фейнмана - Каца. Если для исчисления Ито базисным является
винеровский процесс {Wt}, удовлетворяющий формальному
соотношению dW"t = d/, то квантовое исчисление строится на
основе пары некоммутирующих процессов "квантового
броуновского движения" [At, А\~},
таких что dA] dAt = 0, dAtdA\ = dt. Не исключено, что этот аппарат
найдет применение и в классическом стохастическом
дифференциальном исчислении [11]. Интересно, что квантовое
стохастическое исчисление было недавно переоткрыто физиками. В
содержательной работе [12] помимо формулы Ито приводится
квантовый аналог исчисления Стратоновича, правила для
вычисления корреляционных ядер и дается физическая
интерпретация квантовых уравнений Ланжевена. Статья
Вальденфельса содержит пример явного решения стохастического
дифференциального уравнения, описывающего некоторое обобщение
модели Вигнера - Вайскопфа атома, взаимодействующего с полем
излучения.
Круг приложений теории квантовых случайных процессов (как и
классических) не ограничивается проблемами статистической
механики. Важную роль понятие случайного процесса играет в
