Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдаемых в "классических" состояниях. Далее,
термодинамический предел многовременных корреляционных
функций в этих состояниях может быть получен с помощью техники
Боголюбова-мл. [52, 53]. Они определяют предельный процесс,
однако мы полагаем, что такой предельный процесс может не быть
ни стационарным, ни марковским в общем случае, но скорее будет
иметь структуру с зависящими от времени гамильтонианами,
описанную в замечаниях к разделу 2.4 (см., например, приложение к
работе ван Хем- мена [54]).
Общая проблема пределов некоммутативных случайных
процессов (термодинамический предел, масштабные пределы,
которые могут сделать процесс марковским) представляет
значительный интерес. Некоторые строгие результаты и нерешенные
проблемы для масштабных пределов классических процессов
описаны у Спона [55]; следует ожидать, что аналогичные
некоммутативные проблемы будут по крайней мере столь же
сложными.
Приложение
Пример А. 1 (Линдблад [33]). Пусть & - алгебра всех
комплексных 2 X 2-матриц. Для каждого xeR положим, что
{a[f: /elR} - группа "-автоморфизмов в ^.определяемая со-
отношением
a *(b) = eixt0'be-ixt0\ b<=%, leR.
Квантовые случайные процессы
49
Определим случайный процесс над 31, задав его корреляционные
ядра
-f оо
ш"(а;ь) = 7Г ^ у2 + (ж - х0)2 Х
- оо
X4 trace [а* (а,)* . . . (ап)* (йп) .. . а* (^)];
где яг0 <= R, у > 0 для всех t = (/,, /")gT, а = (аь ...,ап\
Ь=(61; .Ьп) из 3 t. Явный вид случайного процесса (si-, {/'/}, со) не
потребуется, мы лишь заметим, что si может рассматриваться, как
ИР-алгебра, jt есть нормальное отображение из 38 в si, со - точный
нормальный след на si.
При этом процесс является стационарным.
Для всех а\, а2, Ьи Ь2 в 38, t\ ^ t2 из R мы имеем соотношение
"'/,./,("1" а2'' bV Ь2) = ао(а12^-и{а1Ь2)Ьд'
где (о0(-) = 2_ltrace(-) и {Zt: t ^ 0} есть полугруппа с ин-
финитезимальным оператором L вида
L(b)= -[<73, [о3, Ь]] + 1х0[аЛ, Ь\, Ь<=3,
такая что lim || Zy (oj) [| = 0. Поскольку группа модулярных
t ОО
автоморфизмов, ассоциированная с со, тривиальна, канонические
отображения Es, < являются условными ожиданиями; следовательно,
если бы процесс был марковским, то регрессионное соотношение
выполнялось бы и w0, t, 2<(ао, "1, 1; Ь0, bi,Oi) стремилось бы к нулю
при t-*-oo для всех а о, "ь b0, b i из 38. Однако ясно, что
W0, t. 21 ("0. СТ1- 1 ; b0' °1> °l) = "о KCTA)
для всех a0, bQ^3l, t ^ 0, поскольку o\ exp (ixto3) 0[ == = exp(-ixto3) и
0i - (0i)3. Это противоречит регрессионному соотношению,
следовательно, процесс не является марковским.
Пример А.2. Пусть 3 - ^({-1,1}) есть алгебра функций на
двухточечном множестве {-1, 1}, порождаемая единицей 1 и
функцией f, такой что Д±1)= ±1. Пусть далее ыо состояние на 38,
задаваемое соотношением (о0(/) = 2-1 (/(1) + + f(-1)). и
положим, что {Zt: t ^ 0} есть полугруппа отображений вида
Zf(l)=l, Zt (f) = e~ytf, у > 0, для всех t^O.
Тогда Zt сохраняет положительность и единицу, и ы0oZt - = (о0.
Согласно конструкции Колмогорова - Даниэля суще-
50
Jl. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
ствует классический стационарный марковский процесс над такой
что регрессионное соотношение (2.9) выполняется. Однако $ может
быть также отождествлена с алгеброй Клиффорда /4(R),
порождаемой единицей 1 и самосопряженным унитарным оператором
В (е) (е - единичный вектор в R), соответствующим /. Если
подобное отождествление выполнено, то со0 будет квазисвободным
состоянием, соответствующим Q = 0, a {Zt} будет квазисвободной
полугруппой Zt = A0(e-yt). Пусть {Xt\ R-*H; R} - минимальное
разложение Колмогорова положительно определенного ядра s, t*-
"ехр(-yU- s|), например H = L2(R), Xtr =
= (2у)1/2 exp (-y M - s I )X(-°°. <1 (s)r, r <= R [13]. Пусть jt (В (г))
= В {Xtr) e A (H), и положим, что co0 есть квазисво- бодное
состояние, определяемое оператором Q = 0 в Н; тогда {А (Н), {/(},
со0)-стационарный квазисвободный марковский процесс с
условными ожиданиями согласно теореме 3.3.1; следовательно,
регрессионное соотношение (2.9) выполняется. Очевидно, что А(Н)
не может быть изоморфна абелевой алгебре.
Литература *)
1. Doob J. L. Stochastic processes, Wiley, New York, 1953. [Русский перевод: Дуб
Дж. Вероятностные процессы. - М.: ИЛ, 1956.]
2 Meyer P. A. Probability and Potential, Blaisdell, Waltham, Mass., 1966. [Русский
перевод: Мейер П. А. Вероятность и потенциалы. - М.: Мир, 1973.]
3. Accardi L. Non-relativistic quantum mechanics as a non-commutative Markov
process, Advances in Math., 20 (1976), 329-366.
4. Haag R., Kastler D. An algebraic approach to quantum field theory, J. Math. Phys.,
5(1964), 848-861.
5. Glauber R. J. Optical coherence and photon statistics, Quantum Optics and
Electronics, Les Houches 1964, edited by C. De Witt et al., Gordon and Breach,
New York, 1965, 63-185.
6. Davies E. V. Quantum theory of open systems, Academic Press, London, 1976.
7. Колмогоров A. H. Основные понятия теории вероятностей. - М.: Наука, 1974.
