Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
отображение В (т)'-s- i [и, В (m.) ] квазисвободно.
§ 4. ПРИМЕРЫ
Мы покажем вкратце, каким образом модельные системы типа
модели Хеппа - Либа [11, 12] могут рассматриваться как
возмущения квазисвободных процессов.
46
Л. Аккарди, А Фриджерио, Пж. Т. Льюис
4.1. Элементарным кирпичиком этого класса моделей является
фермион, взаимодействующий с двумя бесконечными тепловыми
резервуарами в фоковском вакуумном состоянии (Qo, -Qo), с полным
гамильтонианом [12]
Н° ~ га а + jj [В (со)* В (со) + С (со)* С (со)] со da +
R
+ ^ [gBB(aY а + gcC(a)* а + h. c.]da, (4.1) R
где а*, а являются операторами рождения - уничтожения фермиона,
а В (ьэ)(c) С (аз)-" - формальные операторы рождения-
уничтожения для фермионных резервуаров. Данный гамильтониан
является формальным, однако эволюция, порождаемая им, может
быть определена строго как предел эволюций, порождаемых
регуляризованными гамильтонианами. Редуцированная динамика
фермиона дается динамической полугруппой {Zt: t ^ 0},
Zt{a) = Zt (а*а) = e~2yi а*а + (1 - е-2^)т)1, (4.2)
где
Y = л {I gB I2 + I ёС I2} > 0. Ч = 1 gC I2 ^ [0, 1].
Пользуясь преобразованием Боголюбова, напишем
А (аз) = (| gB |2 + | gc |2)-V* [gB? (аз) - gcC (аз)*], азеК,
тогда взаимодействие системы с резервуаром примет вид (у/л)1^
[А (оэ)* а + а'А (та)] da.
R
Алгебра, порождаемая {а*, А (аз)*: аэеК}, является глобально
инвариантной относительно эволюции, порожденной га-
мильтонианом (4.1). Эта алгебра может рассматриваться как алгебра
Клиффорда над вещественным гильбертовым пространством
Н = [R (r) L2r(R)(c)/(R (c) LUR))]-
((С (c) Z-c(R)) рассматривается как вещественное гильбертово
пространство.)
Алгебра, порожденная а, а*, есть алгебра Клиффорда над
пространством Д0 = 'К(c)/К, порождаемым двумя нормированными
векторами h0 и Jh0, следовательно, мы имеем
В (h0) - а" + а, В (Jh0) = ш* - ia.
Пусть Q = J( 1 - 2г)), тогда Q коммутирует с проектором Р0 из Н в
Но и Qo = PqQPq имеет тот же вид. Квазисвободное
Квантовые случайные процессы
47
состояние aq на А (Я) представляется в форме <%, (r) (й0, • По)) V V
{А (со)*: bgR}, Имеем равенство
Zt = Aq.iSt), t>0,
где {St = exp(/e/- yt): t ^ 0}-полугруппа сжимающих
отображений на Я0, коммутирующих с Qo-
Временная эволюция, порождаемая гамильтонианом (4.1), имеет
вид A(Tt), где полугруппа {Tt: (eR), действующая на Я, является
минимальным унитарным расширением полугруппы {St: t^zO},
коммутирующей с J и, следовательно, с Q. Далее, проекторы Pt\ из
Я в Яt\ = V {ТSH0: s t) коммутируют с Q при всех t е R.
Следовательно, квазисвобод- ное состояние ощ на Л (Я) инвариантно
относительно A(Tt) и совместимо с условными ожиданиями AQ(PII),
и Pt\H\t = Ht для каждого t в силу того, что {St == PoTtPo'- 0} есть
полугруппа.
Из теорем 3.2.2 и 3.3.1 следует, что (Л (Я), {Л (TtPo)}, coq)
есть стационарный квазисвободный марковский процесс над Л(Я0),
единственным образом (с точностью до эквивалентности)
построенный по теореме 3.3.2 из полугруппы (4.2). Он удовлетворяет
уравнению Ланжевена (3.17) тогда и только тогда, когда у строго
больше нуля.
4.2. Никакой дополнительной трудности не возникает при
рассмотрении конечной или бесконечной совокупности не-
взаимодействующих фермионов, подобных вышеописанным. В любом
случае мы будем иметь стационарный квазисвободный марковский
процесс, удовлетворяющий уравнению Ланжевена (3.17) тогда и
только тогда, когда все коэффициенты затухания ук элементарных
фермионных систем строго положительны.
Можно ввести взаимодействие между фермионами, вначале в
конечном объеме. Пусть v - четный самосопряженный операторный
полином от операторов рождения - уничтожения ah, ак< или, что то же самое, от В {h(a \ В (Jh{Qk))> где
k= 1, ..., Я -номер элементарной фермионной системы. По
теореме 2.4.4 существует возмущенный стационарный марковский
процесс с полугруппой {Zt: t 0} вида
Zt = ехр^Е] Lk + i ["> • ])], (4.3)
где Ьк - инфинитезимальный оператор полугруппы {zf]\ t^ 0} для k-
ro фермиона, который имеет вид
Lk{ak) = {-iek ~ Y&K,
^к{а1ак) = -2Ук(а1ак-\1)- (4-4)
48
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Лыоис
По теореме 3.4.2 возмущенный процесс удовлетворяет уравнению
Ланжевена (3.18) тогда и только тогда, когда ук строго
положительны.
4.3. Можно рассмотреть и термодинамический предел N->¦ оо
взаимодействующих открытых фермионных систем. Так как это
несколько выходит за рамки данной работы, мы ограничимся лишь
несколькими замечаниями. Если взаимодействие имеет конечный
радиус и трансляционно инвариантно, то техника Робинзона [50],
Стритера и Уайлда [51] может быть использована для доказательства
существования предельной эволюции в случае бесконечной системы.
Можно показать также, что в этом случае существует предельное
стационарное состояние и предельный стационарный марковский
процесс. Для взаимодействия типа среднего поля в работах Хеппа и
Либа [11, 12] дано описание предельной эволюции интенсивных
