Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
функция, определяемая соотношениями (3.15а-г) определяет (с
точностью до эквивалентности) квазисвободный марковский процесс,
который стационарен согласно доказательству теоремы 3.2.2.
Полугруппа {Zt: t ^ О}, связанная с этим процессом, удовлетворяет
соотношениям: Zt В (пг) = В (Sttn) для всех m е М и &q° Zt = a>Q при
всех 1^0. Нетрудно видеть, что Zt - AQ, (St) = Zt- Обратно, любой
квазисвободный марковский процесс, такой что его полугруппа
имеет вид Hq0(5<), обладает ковариационной функцией,
удовлетворяющей условиям (3.15а-г), что доказывает его
единственность с точностью до эквивалентности.
3.4. Охарактеризуем класс марковских квазисвободных
процессов, удовлетворяющих уравнению Ланжевена.
Теорема 3.4.1. Пусть (s4-, {jt},aQ)-стационарный квази-
свободный марковский процесс с полугруппой (Лдл(5;): I ^ 0). Пусть
{5/} сильно непрерывна с инфинитезимальным оператором G. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
(i) lim |1 Л0"(5;) (b) - coQo (b) 1 || = 0 для всех b А (М);
t->oo
(ii) существует семейство {if :/eR] линейных операторов из
2D(G) в Н, такое что
(i= (t A t') (- (Gm, m') - (tn, Gtn'))
для всех t, l' eR, m, m' ^ SD (G),
H = V (i fm :/eR, m e Д) (G)j,
и {/<} удовлетворяет следующему уравнению Ланжевена:
t
it (В (m)) - is (В (m)) = J ju (В (Gm)) du + В ((if - if) m)
(3.17)
для всех s ^ t e R, m e 3d(G).
Доказательство. Из явного выражения (3.8а, б) для /1q0(S<) мы
видим, что (i) выполняется тогда и только тогда, когда lim || S<m || =
0 для всех m е Л1 Согласно теореме 4.2
t оо
работы [48] и теореме 3.15 из [13], это эквивалентно тому, что
t
Xtm - Xsm = ^ XuGtn du + (if - if) m
44
Л. Аккарди, А. Фриджерио, Дж. Т. Льюис
для всех ss?XeR, m<=2)(G), где {If: / gR} есть семейство,
описанное в (ii); утверждение теоремы следует из того, что
отображение В: Н-^-А(Н) линейно и изометрично.
Отметим, что семейство {^q"(5"): 1^0} сильно непрерывно. Если
мы определим его инфинитезимальный оператор L, то мы будем
иметь B(m)^?D(L) тогда и только тогда, когда ше2)(б) и L(B
(т)) - В (Gm), так что уравнение (3.17) может быть переписано в
виде
t
it (В (т)) - js (В (т)) = J jJL (В (m))du + В ((|? - If) т).
S
Можно построить нетривиальные примеры стационарных марковских
процессов, которые не являются квазисвободными, путем
применения к квазисвободному марковскому процессу теории
возмущений, сформулированной в теоремах 2.3 и 2.4.4. Справедлива
следующая теорема.
Теорема 3.4.2. Если {/<} удовлетворяет уравнению Лан- жевена
(3.17) и оператор v = v*, определяющий возмущение, есть четный
элемент А(М), то возмущенный процесс {jt} удовлетворяет
следующему уравнению Ланжевена:
t
jt(B(m))-'j0(B(m))=- \lu(B (Gm) + i[v, B(m)])du +
0
t
+ В (feG - if) m) = J / ul (B (m)) du + В Hi? - if) m)
(3.18)
для всех m^SD(G) и t^Q, где ?-инфинитезимальный оператор
возмущенной полугруппы {Zt: t ^ 0}.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями леммы 2.4.1.
Согласно стандартной теории возмущений, мы имеем
t
~jt(B(m)) = utj0{B(m)) = utj0(B(m))+ jj us([ij0(v), ut~s X
0
i
Xio(B(m))])ds = jt(B(m))+ jj us([ij0(u), jt-s(B(m))])ds. (3.19)
о
Используем уравнение (3.17) для вычисления jt(B(m)), jt-
s(B(m)). Так как /0(о)есть четный элемент А (Н 0) Ш А(Н о\) и
(If - lf)m есть ортогональное дополнение к Я0] [13,48],
то /0 (о) коммутирует с В ((if - |G) т). Учитывая, что /о = /о"
Квантовые случайные процессы
45
получаем
t
Ъ (В {tn)) - /о (в (m)) = ^ ju (В (Gm)) du + В tn) +
О
t t t - S
+ ^ M[*7o(a). k(B{m))\) ds+ ^ ^ us{[ijQ(v), ju{B(m))]) duds.
0 0 0 Первое и последнее слагаемое в правой части могут быть
объединены в одно с учетом (3.19). Их объединение равно
t t
^ ju{B{Gm))du. Третье слагаемое равно ^ [г }u{v), ju(B(m))\du. о
о
Это доказывает (3.18).
Замечания
К 3.2: Квазисвободные процессы являются аналогами
классических гауссовских процессов и полностью определяются
структурой гильбертова пространства. По поводу аналогичной
конструкции на ККС-алгебре см. работу Линдблада [49], а также
[34].
К 3.3: Теорема 3.3.1 является аналогом теоремы Дуба
[10] . Стационарные квазисвободные марковские процессы были
построены по полугруппе {Zt: t ^ 0} Шрадером и Улен- броком [36]
для частного случая Zt = A0(St). Аналогичная конструкция была
использована Эвансом [43, 44] в его исследованиях расширений
квазисвободных полугрупп, для которых [Q0, S(] = 0.
Понятно, что существуют квазисвободные марковские процессы
без условных ожиданий; мы не затрагиваем их в данной работе.
К 3.4: Уравнение Ланжевена (3.17) не зависит от состояния coq В
{s&, {/<}, coq) . Для заданных 3В ъ зФ оно определяет {/<: /е R},
однако различный выбор wq может сделать получаемый процесс
марковским или нет в зависимости от того, коммутирует ли Q с
проекторами (Лщ /е R}.
Группа автоморфизмов возмущенного процесса, описанного в
теореме 3.4.2, квазисвободна тогда и только тогда, когда
