Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
наилучшим среди всех локально несмещенных измерений. Теорема доказана.
Теорема эта устанавливает принципиальный факт каноничности наилучшего
измерения, однако не дает явного выражения для оператора sF*, через
который определяются параметры наилучшего измерения. Явное решение этой
задачи было получено в некоторых частных случаях. Рассмотрим
подпространство Z^ cz Z, порождаемое векторами mj\ / = 1, ... , п (оно
соответствует подпространству X аХ% (S) при изометрии г "-" R (г) - т
(г)), и предположим, что оно является инвариантным подпространством
оператора JF В частности, это очевидным образом выполняется, если ft = 2s
= dimZ, так что Z^ = Z. Тогда X будет инвариантным подпространством
коммутационного оператора Т) и формулы (7.17) с учетом (9.2) дают Xj =
R(zj) - dof, /== 1 п, где
у <7-'abs (iGJWJ-*),
где, в силу (V.4.9), (V.4.12) и (9.2),
J=[(LJy Lk)s] - [" (Щ, mk)], D = [[Lh L*]5] = [A (m,, mk)).
Вспоминая доказательство предложения 8.1, можно сказать, что наилучшее
измерение реализуется коммутирующим семейством наблюдаемых
Rj = R(zj)(r)I0 + I(r)R%
где ^" - вспомогательные канонические наблюдаемые в пространстве еЖ0 с
состоянием S0 такие, что
[/??, Ri] = 'A (zj, z%) /0, ESo (R)) = 0, [(Rj, R"k)s] = tf*.
В рассматриваемом случае биортогональная система {г*} лежит в
подпространстве Zg, порождаемом системой {trij}, и не зависит от выбора
весовой матрицы G, которая входит лиШь в выражение для матрицы tf*. В
общем случае Zjg не будет инвариантным подпространством оператора sF*;
векторы zj могут лежать за пределами подпространства Zg и зависеть от
выбора матрицы G.
гГ =J-J 'ЩЛ , и tf* =
Zt тп.
§ 9] ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ 307
Теорема 9.1 позволяет также установить любопытное свойство гауссовских
состояний, позволяющее охарактеризовать их как "наименее информативные"
или "наименее выгодные" с точки зрения экспериментатора. Рассмотрим
другое семейство состояний с конечными вторыми моментами, причем
предположим, что состояние
0 имеет то же среднее значение (9.1) и корреляционную функцию а, а в
остальном совершенно произвольно.
Рассмотрим локально несмещенное каноническое измерение М (d61... Мп) с
параметрами zL, ... , zn; [х/А]. Тогда среднеквадратичное отклонение
результатов измерения, вычисленное относительно состояния Sе вп< равно
2s {М} = + а (гу> г*)]
/. к
в силу (7.6) и пунктов 1), 2) определения канонического измерения.
Поскольку не зависят от состояния в силу пункта 3) того же определения, а
а по предположению совпадает с корреляционной функцией гауссовского
состояния ол, то SJ {М} = Es {М}, где 28 {М} - среднеквадратичное
отклонение, вычисленное относительно Sei 9я< Так как минимум величины 28
{М} по каноническим измерениям совпадает с минимумом по всем измерениям
(теорема 9.1), то он равен величине Е* из (9.3). Поэтому
- локально несмещенные
канонические измерения}= 2*.
Отсюда следует, что min У}' {М} У]*, где минимум бе-
м
рется уже по всем локально несмещенным измерениям и max min V'{M}= У*.
Таким образом, при данной априорной информации о моментах, гауссовские
состояния являются наихудшими в смысле среднеквадратичного отклонения
измерения параметров 0ц..., 0" среднего значения. Это можно наглядно
интерпретировать, рассмотрев "игру", в которой экспериментатор стремится
минимизировать среднеквадра-
308
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
{ГЛ. VI
тичное отклонение 2а{М}, исходя из осторожного предположения, что
фактическое состояние может оказаться для него наихудшим в данном классе.
С этой точки зрения предположение о гауссовоети в задаче оценивания
среднего при отсутствии априорных данных о моментах выше второго порядка
представляется оправданным.
Комментарии к гл. VI
§ 1. Основные понятия и проблемы математической теории передачи сообщений
Шеннона - Колмогорова формулируются в докладе Колмогорова [51]. На
необходимость учета квантовой природы носителя информации при изучении
оптических каналов указывал еще изобретатель голографии Габор [29].
Математические модели квантовых каналов связи обсуждались Холево [112],
Ингарденом [43], Дэвисом [40]. Информационные характеристики
рассматривались в работах Холево [116], Линдблада [60].
§§ 2, 3. По поводу классического неравенства Рао - Крамера см. Крамер
[53]. Обстоятельное "геометрическое" исследование неравенства Рао -
Крамера содержится в книге Ченцова [128]. Предложения 2.1 и 3.2 являются
строгими версиями соответственно неравенств Хелстрома [107], [109] и
Мандельштама - Тамма [68].
§ 4. Постановка задачи об оценивании силы, действующей на пробный объект,
мотивирована работой Брагинского и Воронцова [17], в которой обсуждался
вопрос об обнаружении силы и была получена граница типа (4.11) как
условие обнаружения.
§§ 5, 6. Неравенство (5.3) является строгой версией результата Хелстрома
[107], [109]. Неравенство (6.2) получено в работе Юна и Лэкса [133].
Оптимальность канонического измерения в гауссовском семействе |S- - J
