Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
X'm = R(Zj)', j- 1, ..., п;
3) числа x]k = bjk - a(Zj, zk), где а - корреляционная функция состояния
S, не зависят от выбора 5.
Из общего неравенства (7.5) тогда вытекает, что
[ху*]=г±у[Д (2У, zk)].
(8.1)
КАНОНИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
299
Набор элементов гх, ..., гп и симметричная матрица чисел называются
параметрами канонического измерения.
Предложение 8.1. Пусть z1, ..., г" - произвольные элементы из Z, [х,*] -
симметричная матрица, удовлетворяющая условию (8.1). Тогда существует
каноническое измерение с параметрами гъ ..., z";
Мы дадим доказательство при упрощающем предположении, что гх, ..., гп
образуют базис в Z.
Доказательство. Помимо представления z -> V (z) канонических
коммутационных соотношений в пространстве еЗГ, рассмотрим представление
z-*-V0(z) в пространстве отвечающее кососимметричной форме A0(z, z')= = -
А (г, z ), так что
Vo (г) Vo (г') = Г * Л(г' *'V0 + г'). (8.2)
Канонические наблюдаемые R0 (z) в вЖ(1 удовлетворяют соотношению
[R0(z), R0(z')] = iA(z, z')/0.
Рассмотрим семейство операторов V (z) = V (z)(r) V0 (г); zeZ, в В силу
(V.2.1) и (8.2) оно является
коммутирующим, так что z-"-V(z) является унитарным
представлением аддитивной группы Z. Применяя теорему Стоуна, получаем
V (г) = (*), (8.3)
где R (г) - самосопряженное расширение оператора R{z)(r)Io +1 <g>ft0 (*)•
Так как {V (z); z е Zj - коммутирующее семейство, то операторы
&(z/) = fl(z/)<g)/o + /<8)flo(z/); / = 1.л, (8.4)
коммутируют и имеют совместную спектральную меру
Е (dQl ... d0"). Согласно (8.3)
^ */*/)=SехР (г' 2] ^/6/JЕ № • • • dd*)- (8-5)
Определим в Z билинейную симметричную форму х( •, •), полагая x(zy, zk) -
y.jk (здесь мы используем упрощающее
300
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
предположение). Из условия (8.1) вытекает, что форма к удовлетворяет
условию (V.4.14). Поэтому, согласно теореме V.5.1, к является
корреляционной функцией гауссовского состояния S0 в е%"0 с
характеристической функцией
ехр[-ух(2\ г)].
Для любого состояния S В e/f' формула
ps(r) s" (В) = Tr StgiSoE (В), 5ев/(0),
определяет распределение вероятностей на 0, причем отображение S->pfg,So
является, очевидно, аффинным. Согласно теореме II.2.1, существует
измерение 714 (d6x... d 6") в такое, что
Ps(B)=p!@s0(S), 5ев/(8), (8.6)
где ps (В) = Tr SM (В) - распределение вероятностей УИ относительно
состояния S. Другими словами, УИ -это измерение, реализацией которого
является описанная выше тройка (q%^o> S0, Е). Покажем, что УИ является
каноническим измерением с параметрами zlt ..., z"; [хуД.
Введем характеристическую функцию
Ф (tlt tn) = jj exp i(? ps (dBl ... dQn)
распределения вероятностей ps- Как известно из теории ' вероятностей,
моменты распределения ps связаны с производными ф, а именно
b Г^!ф _§у . |ф1 . (8.7)
\dtjdtk dtj dtk t. = о '
В силу (8.5)
Ф(Д tn) ^TrS^SoV {Yi.t]Z}^ =
= TrSV^^-TrS0V0(S^)*
В правой части стоит произведение характеристических функций состояний с
конечными вторыми моментами. Учитывая (8.7) и аналогичную формулу для
корреляцион-
канонические измерения
301
ной функции квантового состояния, вытекающую из (V.4.7), получим bjk -
a(zj, zk)-\-xjk, так как
Тг bzi] = ехР f- y 21 tltk^k
\ i ! \ /. к
Остается показать, что jj QjM ... dQn) = R (zj)\ j- 1, ..., п. В силу
линейности соотношения (8.6) по S получаем
Tr ТМ (В) = Tr (Т (r)S0) Е (В)
для любого ядерного оператора Т. Полагая T - YS, где Y - ограниченный
оператор, S - оператор плотности, находим
(М(В), Y)s = (Е (В), K(r)/>S0So.
Отсюда для любой простой функции / (•)
<$/(0)M(d0), Y)s = qf(B)E(d9), K(r)/)S8So.
Переходя к пределу в среднеквадратичном, получаем
(Х'м, Y)s = (\BjE(dQ), F(r)/>S0So =
= \R(zj), Y(g)I}s(r)st- (R (z/), Y)s~E(R0(zj), /)s" =
= <7?(z,), Y)s,
так как S0 имеет нулевое среднее. Поскольку это выполняется для всех
ограниченных Y, имеем Х'м - R (zj) в (S).
Вернемся к случаю одной степени свободы Р, Q. Очевидно, что измерение
наблюдаемой Q = ^ 0JB1 (d0) является каноническим измерением с
параметрами
Xe = Q, xqq=* 0.
В данном случае вектор Х% не образует базис в двумерном пространстве
канонических наблюдаемых, поэтому конструкция предложения 8.1
непосредственно неприменима. Однако измерение Q можно рассматривать как
"предельный случай" измерений
Q(r) 7о "Г 7 (r)Qo>
где вспомогательная степень свободы описывается состояниями S0 с Ds"
(<20)->-0-
302
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
!ГЛ VI
Совместное измерение (6.13) является каноническим измерением с
параметрами
В § III.7 была дана кинематическая интерпретация совместного измерения
(6.13) в случае, когда Q является координатой, а Р - импульсом квантовой
частицы. Здесь
для нас представляет интерес другой случай, когда Р и Q' возникают из
представления квантового электромагнитного поля в виде суммы
гармонических компонент
соответствующих разным частотам (c). Дадим описание мысленного
эксперимента, который отвечает совместному каноническому измерению
(6.13). Рассмотрим плоскую монохроматическую волну E(t),
