Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
o<(/±^3)jg(i±y$)^(i±y$). (7.13)
В самом деле, умножая неравенство 3) справа и слева на |/~ 1±уФ, получаем
1 dz 12) g ]/1 ± у Ф)2 ^ 1 ± у (r) g ]/" ,
откуда 0 - . V 1±|(r)8 / I±~3)*^I. Вновь умножая
справа и слева на j/~I z±r ~ Ф, получаем (7.12). Вспоминая формулу (6.5),
имеем
<(i + 4(r))l" g(i + )-(r)) ?.>"]"
<у,, (I + т') =j'
F =
так что F^^F1, и мы получаем неравенство, отвечающее правой
логарифмической производной.
Покажем, что в случае, когда пространство X, порожденное симметричными
логарифмическими производными Lj\ j = 1, п, инвариантно относительно
коммутационного
296
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
оператора 2) состояния S, неравенство (7.11) совпадает с границей (6.17).
Для этого мы докажем утверждение, которое понадобится и в дальнейшем.
Предложение 7.1. Пусть Ш-замкнутое инвариантное подпространство оператора
2, содержащее симметричные логарифмические производные Lj\ j = 1, .... п.
Тогда нижняя грань в (7.11) не изменится, если считать
операторы g, 2 действующими не в X%(S), а в ЭЛ.
Доказательство. Достаточно показать, что всякому оператору g,
удовлетворяющему условию 3) леммы 7.1, отвечает оператор g(r)} в ЭЛ,
удовлетворяющий условию
$эя)8зяй^5дя, (7.14)
где 2Ж - ограничение оператора 2 на ЭЛ (т. е. 2ад =
= Д2Д, где Е - проектор на ЭЛ), и такой, что
{Lj' $Lk)s - (Lj, %wi^h)s, (7-15)
и, обратно, такому gsj{ соответствует g.
Пусть g удовлетворяет условию 3), которое нам удобно записать в виде
(7.14). Пусть Е - проектор на ЭЛ; тогда Е коммутирует с 2. Умножая (7.14)
справа и слева на Е и полагая = получаем
0^(/±|2а).)5-да(/±Л^</±|^> (7.16)
что равносильно (7.14). Условие (7.15) при этом выпол-
няется, так как ELj = Lj; j - 1, ..., п.
Обратно, если ggjj - оператор в 3)1, удовлетворяющий условию (7.14),
которое можно записать в виде (7.16), то, продолжая его нулем на
ортогональное дополнение к ЭЛ, получаем оператор g, удовлетворяющий всем
необходимым условиям.
Если теперь X является инвариантным подпространством 2, то можно считать,
что оператор $ действует в X.
В базисе Lf, /'= 1, ..., п, операторам g, / it Л 2 отвечают матрицы J'XF,
F1 Dj, поэтому условие (7.14)
КАНОНИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
297
в матричной форме принимает вид
/У* (у± \ D) JlF^ F,
или, учитывая невырожденность матрицы F,
F 1 У1 t 2 J 'DJ1.
Тогда (7.11) равносильно неравенству ? {Л1} 3= min {Tr OF-1-. F_1
вещественная симметричная и
У^У1 i'/W-'l.
Учитывая лемму 6.1, получаем, что правая часть совпадает с границей
(6.17). Оптимальная матрица Р* дается формулой
Fil = У"1 + 4 01 abs
Используя (7.12) и учитывая, что
[g*Li, ..., ^*L"] = [L1, ..., /."{У-1/7*,
получаем
1 Г/.
К* = (tm) Q-1 abs (iGJ^DJ*1). (7.17)
Если найдется измерение yW* (dQ1 ... d0"), отвечающее таким X/; /=1, ...,
п, и К#=[х**] по формулам (7.1) и (7.4), то оно является наилучшим
локально несмещенным измерением параметра 0 в точке 0О- Такая ситуация
имеет место в гауссовском случае, к рассмотрению которого мы переходим.
§ 8. Канонические измерения
В примерах из §§ 5, 6 мы нашли наилучшие несмещенные измерения параметров
среднего значения гауссовского состояния в случае одной степени свободы.
В однопараметрическом случае для этого использовалось неравенство (2.9),
основанное на симметричной логарифмической производной, а в
двухпараметрическом - неравенство
\Yf LT
= У~!
Хп 1п
298
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ГГЛ VI
(6.2), основанное на правой логарифмической производной. Общим в обоих
случаях является то, что наблюдаемые, определяющие наиболее точное
измерение, являются линейными функциями канонических наблюдаемых Р, Q.
Теперь нашей задачей будет обобщение этих результатов на произвольные
гауссовские состояния для любого конечного числа степеней свободы. Мы
покажем, что в общем случае равномерно наилучшее несмещенное измерение
параметров среднего значения гауссовского состояния находится в классе
канонических измерений, который будет описан в этом параграфе. Грубо
говоря, канонические измерения соответствуют линейным функциям
канонических наблюдаемых, однако с учетом возможной неком-мутативности
компонент, как в (6.13). С этим существенным дополнением теорему, которую
мы докажем в § 9, можно рассматривать как некоммутативный аналог
известного результата математической статистики, утверждающего, что
наилучшие несмещенные оценки параметров среднего значения гауссовского
распределения являются линейными функциями от наблюдений.
Пусть (Z, А) - симплектическое пространство и г->Г(г)- неприводимое
представление канонических коммутационных соотношений в <Ж. Измерение М
(d0x ... dBn) параметра в = [0!, ..., 6"] назовем каноническим, если для
любого состояния S в с конечными вторыми моментами
1) измерение М имеет конечные вторые моменты, так что определены величины
0оу = $ 0yps(d0i ... dBny,
bjk = $ (0y - 0oy) (0* - 0oft) li5 № • • • dbn); j, k = 1, ..., n\
2) элементы X'M - J BjM {dB1 ... dbn) из %1{S) лежат в подпространстве
канонических наблюдаемых 31, так что
