Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
измерения. Тогда
B{M)^[{Xj, Xk)s]±±[[Xj, XA]SJ. (7.3)
Это неравенство вытекает из (II.9.7), если положить
/(б)= где Су - произвольные комплексные числа.
Положим
Kjk - bjk {Щ - Xh)s. (7.4)
292
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
(ГЛ. VI
Тогда неравенство (7.3) примет вид
[иу*]^±|[[Ху, Хь]8]. (7.5)
Среднеквадратичное отклонение в этих обозначениях равно 2 {Щ='Е1В]кЬ]Ь{Щ=
2Ы*/а + <*У> ад- (7-6)
/, к /, к
Характеризующие измерение переменные Xj^%h{S) и вещественная симметричная
матрица К = [и/Д подчинены двум ограничениям (7.2) и (7.5). Мы получим
нижнюю границу для среднеквадратичного отклонения, найдя минимум
выражения (7.6) по всевозможным X/, / = 1, ... .... п, и К = [я/*]>
удовлетворяющим ограничениям (7.2),
(7.5). Эта граница будет достижимой, если минимизирующие ее значения X*;
/ = 1, ..., п, [и/*] соответствуют некоторому измерению по формулам
(7.1), (7.4).
Наши дальнейшие рассуждения опираются на следующую лемму.
Лемма 7.1. Элементы Xj^X\(S)\ /= 1, ..., п, и симметричная вещественная
матрица [xyt] удовлетворяют условию (7.5) тогда и только тогда, когда
существуют элементы Yj е %% (S); / = 1, ..., п, и
симметрич-
ный*) оператор g в X%(S) такие, что
1) Xy = gF,; /= 1, ..., П\
2) иуй = <^у, 5(7 -S)Hft)s; /, k=l, ..., n;
3) $ ^ 5 (^7 ± у 3 в (S), ггЗе g - комплекснолинейное продолжение
исходного оператора из d6l(S) в X*(S).
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть ^ - подпространство =S?h(S),
порождаемое элементами Ху; / = 1, ..., п. Введем симметричный оператор &
в X
*) Всюду здесь имеются в виду ограниченные симметричные операторы в
вещественном гильбертовом пространстве (S). Всякий
такой оператор St продолжается до эрмитова оператора в комплексном
гильбертовом пространстве t5f2(S) по формуле S( (Х1 + (Ха) = 51Х1-J-+
Xv X2e%l(S).
§ 7] ГРАНИЦА ДЛЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ 293
по формуле
(Xj, $Xk)s = Kjk-Тогда неравенство (7.4) можно записать в форме
<У, ?У>5^±|<У,ФУ>5, Y^X@iX. (7.7)
Определим симметричный оператор g в X%(S), полагая
а_|(1+К)-1 на X,
\ 0 на X\(S)QX.
Полагая Yf - (/ + $) Xj, имеем Xj = %Yj и
ък=(Ъ, вд5=<у" шпь=<У/, g(/-g)y*>s,
так что условия 1), 2) выполнены и остается проверить 3).
Учитывая, что для построенного выше оператора $ вектор %Х, X^X%(S),
всегда лежит в X, подставим в (7.7) Y = %Х, X<^X2(S). Используя
получающееся неравенство, имеем
(X, g(/±|^)gx)>s <<Х, %(1 + Щ%Х)5 = (Х, %X)s,
что и требовалось.
Докажем достаточность. Пусть g и К,-; /= 1, ..., п, удовлетворяют
условиям леммы. Соотношение (7.5), которое надо доказать, запишется в
виде
[<7/. 8(/-8)У*>5]з*±у[[8У/, PVb] =
= ±i[(Yj, 8$8^>s].
Достаточно доказать, что
но это равносильно условию 3). Лемма доказана.
Подставляя теперь соотношения 1), 2) в (7.6), получаем
2{М} = 1>,*<У" 8У*>а. (7.8)
Остается минимизировать это выражение по всем Y, а ^X\(S)\ /= 1, ..., п,
удовлетворяющим условию
(L/, = (7.9)
294
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
которое равносильно условию локальной несмещенности, и по всем
симметричным g в Xl(S), удовлетворяющим условию 3).
Заметим, что оператор g положителен, точнее,
0<8</. (7.10)
В самом деле, складывая соотношение 3), отвечающее знаку -f, с
соотношением, отвечающим знаку -, получаем g^g2 или g (/- g)^=0, что
равносильно (7.10). Поэтому симметричная билинейная форма (X, gY)s на
%l(S) является положительно определенной и определяет псевдоскалярное
произведение (т. е. произведение, скалярный квадрат которого может
обращаться в нуль для ненулевого вектора X).
Найдем сначала минимум выражения (7.8) по всем Yj\ /== 1, ..., п,
удовлетворяющим условию (7.9). Прежде всего заметим, что для данного g
хотя бы один набор Y/=1, п, удовлетворяющий (7.9), существует
тогда и только тогда, когда матрица
F = [{L" gLft)s]
невырождена; это есть просто необходимое и достаточное условие линейной
независимости векторов Lf; /= 1, ..., п, относительно псевдоскалярного
произведения (X, gY)$. Поэтому мы должны предположить, что g
удовлетворяет этому условию. Тогда по лемме 5.1
[(У" 8yk)s]^[(L" gTft)s]-1 = F_1, причем равенство достигается при
-JV [Ц.
Yn. 1 11 1
Таким образом,
%{М\^ЫТт QF-1, (7.11)
где нижняя грань берется по симметричным операторам g в ?%(S),
удовлетворяющим условию 3) леммы 7.1.
Если эта нижняя грань достигается на операторе g*, то соответствующие
оптимальные векторы Xf; j = 1, ...
i 7] ГРАНИЦА ДЛЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ 295
.п, и матрица - [>с/а] в (7.6) даются выражениями , К* = F~l[(Lj, ruU-
%*)Lk)s]F-', (7.12)
X*-
2: 11
X* L nJ $ *Ln_
где F%=[(Lj, Ниже мы сможем найти опти-
мальный оператор g* в одном частном случае, а сейчас выясним, в каком
отношении к неравенству (7.11) находятся границы (5.7) и (6.16).
Из второго неравенства (7.10) вытекает, что
F=[(Lj, ZL^sl^KLj, Lk)s] = J.
Отсюда F^^sJ1 и мы получаем неравенство (5.7), отвечающее симметричной
логарифмической производной.
Чтобы получить неравенство (6.16), заметим, что условие 3) леммы 7.1
может быть записано в виде
