Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Неравенства (5.3) и (6.2), основанные на разных определениях
логарифмической производной, дают две существенно разные границы для
среднеквадратичного отклонения. Именно, выше мы видели, что для
гауссовского двухпараметрического семейства граница (6.2) лучше, чем
(5.3). Покажем теперь, что для любого однопараметрического семейства
граница (5.3) предпочтительнее.
(6.2). Достаточно показать, что всегда
(Lq, ^e)se^i(Le, Lq)sq.
Для этого найдем матричное представление правой и симметричной
логарифмической производных в базисе из собственных векторов {фу}
оператора плотности Se. Умножая уравнения (5.1), (6.1) на (фу | и | ф*),
находим
(фу | Т0ф*) = 2 (sy + s*)-1 ("фу
de
(ф/110ф*) = Sy1 (фу | 50ф*
Отсюда
(Le, Le)se = 2 2
de
/.а
(?в, L0)50 = 2S/1 (Ф/
/.а
si + sa
Фа
¦^(s/' + Sa1) (Фу||50Фа)| -j,k
Так как 2(sy + s*)-1<y(s/ + skl), to <Le, Le)Se^(L0, Le)se
и требуемое неравенство установлено.
Аналогично можно ввести левую логарифмическую производную.
Соответствующая информационная матрица
ГРАНИЦА ДЛЯ МАТРИЦЫ КОВАРИАЦИИ
289
является комплексно сопряженной к /в, так что результирующее неравенство
для матрицы ковариации получается просто переходом к комплексно
сопряженным величинам в (6.2).
В рассмотренном выше примере мы получили границу
(6.12) для среднеквадратичного отклонения, искусственно подбирая
вектор v в неравенстве (6.3). Можно, однако, получить из (6.2) и общую
границу для {/И} с произвольной весовой матрицей О. Заметим, что *)
Уё1 = Re Уё1 + i Im Уё1, (Уё1)7 = ИеУё1 - i Im Уё1,
где Re Уё1 - вещественная симметричная, Im Уе1 - вещественная
кососимметричная матрицы. Так как Bq {М} вещественна и симметрична, то из
(6.2) вытекает
Вь {MJSsReyri/Im/o-1.
А"
Полагая Х= Be{M} - Reyy', имеем
28 {MJSsTrGtReyVO + minlTrGA-: X^±i\mJi1}. (6.14)
Чтобы получить явное выражение для минимума, воспользуемся следующим
приемом. Для любой матрицы М, которая подобна диагональной,
М=Т
р( О О рл
можно определить функции от М; положим, в частности,
щ | О
О | Рл I
abs М= Т
т-к
Подчеркнем, что, вообще говоря, abs ШФ \ М| = если же М эрмитова, то absM
= |M|.
Диагонализуемым является произведение эрмитовых матриц GR, из которых
одна, например G, строго
*) Значок7 обозначает транспонирование матрицы.
290
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
положительно определена. В- самом деле, {?/?= =Vo{VgrVg) Vg-' , так что
OR подобна эрмитовой матрице V ORV о, которая в свою очередь подобна
диагональной. Отметим, что
abs (OR) = V0\V0 RVO\ VG-1. (6.15)
Лемма 6.1. Пусть R -эрмитова матрица; тогда
min {Тг GX: X^dt R} - Тг abs (OR),
причем минимум достигается для X = Q-1 abs (OR).
Доказательство. Так как X^-dzR, то Y ОX]/О^
^YOrYO и e*Y О XYO e^\e*Y О RV О е\ для любого вектора-столбца е. Пусть
{в/} - базис из собственных векторов эрмитовой матрицы YORYO, а {р7-} -
ее собственные значения. Тогда
Тг ОХ = Тг Ус XV о = ^elVQ XVQ
i i
= Tr | VO R VO I = Tr abs OR.
Подстановка X = О 1 abs OR, очевидно, дает нижнюю границу, и надо
проверить только, что О'1 abs OR^dzR. Учитывая (6.15), перепишем левую
часть в виде VO^WorVoWo-1. Тогда доказываемое неравенство сводится к
неравенству ! X! ^ ± X для эрмитовой матрицы x = YgrYo, которое вытекает
из скалярного неравенства \х\^±х и определения функций эрмитовой матрицы
(см. (II 3.9)).
Из (6.14) и доказанной леммы вытекает искомое неравенство для
среднеквадратичного отклонения
Цо {Ж} S& Тг О RеУв1 + Tr abs (i О Im Jil). (6.16)
В случае (6.9) из (6.10) получаем Re Jel = Je1, ImJ^ = = уУГ'АЛ'1, так
что
|М}^Тг Oh' + ^ Tr abs (iQJf'DtJf1). (6.17)
Предоставляем читателя вновь получить отсюда границу
(6.12) для гауссовского семейства
§ 7) ГРАНИЦА ДЛЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ 291
§ 7. Общая граница для среднеквадратичного отклонения
Выше были получены две существенно различные границы для
среднеквадратичного отклонения. В этом разделе мы постараемся раскрыть
механизм ситуации и получим общее неравенство, из которого эти границы
вытекают как частные случаи.
Рассмотрим семейство состояний {S8}, где 0 = [бг, ... ..., 6"] -
многомерный параметр. Мы будем предполагать, что это семейство
удовлетворяет условиям 1), 2) из § 5. Все наши рассмотрения будут носить
локальный характер, т. е. относиться к фиксированной точке 90. Поэтому мы
условимся всюду опускать индекс 6"; например, будем писать S вместо S8o,
будем также писать (•, ¦)s вместо (•, -)s и т. п. В частности,
симметричные логарифмические производные в точке 90 будут обозначаться
Lj\ /= 1, ..., п.
Мы будем рассматривать измерения М (^... d9") параметра 9 с конечным
вторым моментом относительно состояния S, удовлетворяющие условию
локальной несмещенности.
Полагая
Ху = 5 (0/ - V) М (d 0!... d 9") ез Х*м - боу, (7.1)
запишем условие локальной несмещенности в виде (5.6):
(Lj, Xk)s - &jk'> /> k = 1, ..., п. (7-2)
Мы будем существенно использовать одно общее неравенство для измерений с
конечными вторыми моментами. Пусть - матрица ковариаций такого
