Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
2') существует некоторая постоянная с такая, что Тг J-So-X
;с¦ Тг SeXX*; X е= 33 {<ЗГ), j = 1, ..., п.
Это означает, что комплексно-линейный функционал
и ,?.(*>=тг 4 s,.x
на 33 (s%^) продолжается до непрерывного функционала на комплексном
гильбертовом пространстве (S8). По лемме Рисса - Фреше существуют
элементы Li е L\ (S8) такие, что
Тг щ S8X = (LL X)it, X es 33 ("ЯГ),
т. е.
J-S6 = (Z,0*So, или ^St = S0Li. (6.1)
Операторы Li называются правыми логарифмическими производными семейства
{S8}. Отметим, что
</, ОД = 0, /=1 Л.
Введем правую информационную матрицу
л=[<?{, lf>ij
и предположим, что она невырождена.
Рассмотрим измерение М (dQ1 ... dQn) с конечными вторыми моментами,
удовлетворяющее условию локальной несмещенности. Аналогично соотношениям
(5.6) получаем
ГРАНИЦА ДЛЯ МАТРИЦЫ КОВАРИАЦИИ
285
Отсюда, опираясь на лемму 5.1 и используя (II.9.7) вместо (II.9.6),
получаем другое неравенство для матрицы ковариации измерения:
В0{М}5?Л1. (6.2)
Важно, однако, отметить, что здесь уже является, вообще говоря,
комплексной эрмитовой матрицей, так что в равносильной записи соотношения
(6.2):
vBi {М} v*$zvJtlv* (6.3)
ограничение только вещественными векторами v приводит к "менее
информативному" неравенству, не учитывающему мнимую часть матрицы Л1.
Прежде чем применить этот результат к оцениванию параметров в семействе
гауссовских состояний |Sp найдем общее соотношение, связывающее
симметричную и правую логарифмические производные.
В силу (5.1), (6.1) для любого ограниченного X выполняется
(U, X)st = (U, X)is. (6.4)
Замечая, что согласно (II.8.13)
(Y, X>? = <F, X)s + -L[Y, X]s = (y, (i+iDjx^, (6.5) получаем искомое
соотношение
(l+y(r)e)^ = Z^. (6.6)
Если оператор ^I+y^sj невырожден, чтоб силу предложения II.10.1
выполняется, когда - точное состояние, то мы получаем
Ы = ^1 + -2 j Li. (6.7)
Тогда
"^S==?(^' (6-8)
Фактически нужна матрица Jf'. Очень простое выражение для нее получается
в следующем частном случае: предположим, что подпространство пространства
286
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
(ГЛ. VI
X2 (56), натянутое на симметричные логарифмические производные,
инвариантно относительно оператора Т9:
Ф9 (J?.) с J?,. (6.9)
Тогда + является эрмитовым оператором, для
которого <5?9 - инвариантное подпространство. Поэтому можно считать, что
^1 +у ^действует в <5?в и ^1 +у в соотношении (6.8) есть обратный к этому
оператору в Хь. Тогда У9 -матрица квадратичной формы оператора ^1 + уЗ^ 1
в базисе {Ц} и, как известно из линейной алгебры,
л-=уг[/й (i+y^)^)Se]-fr',
где У9 = [(1/9, L*)s9] -матрица Грама базиса {jL9}. Вводя вещественную
кососимметричную матрицу
Ds = [(Ц, 2)/.9>э9] = [[Т(, T9]s0], находим окончательно
•Г = Js\js + у а]УГ = УГ1 + 4К АУЛ (6.10)
Обратимся к примеру гауссовского семейства q}. Пользуясь формулами (6.6)
и (V.6.11), можно найти
LQ~(4opob~\)-'[4o%{Q-(r)-2i(P-P)], j Lp = (4of,0$ - 1)-! [4оЬ (Р -Р) + 2 i
(Q - Q)j.
Эти соотношения имеют смысл, если 4оро5 ф 1, т. е. состояния Sp р не
являются чистыми. Тогда, как следует из (V.5.10), все собственные
значения оператора плотности Sp ^ положительны, т. е. состояния Sp ^
являются точными. Таким образом, условие 40р0^ф1 равносильно
невырожденности оператора 1 + уТф у Из (6.11) можно
получить Jp q, однако вычисления являются довольно трудоемкими. Заметим,
однако, что подпространство Xр
ГРАНИЦА ДЛЯ МАТРИЦЫ КОВАРИАЦИИ
287
порожденное симметричными логарифмическими производными Lq = Oq2(Q - Q) и
LP = aJ2(P - P), совпадает с подпространством Э?! (см. § V.6) и поэтому
инвариантно относительно коммутационного оператора Ър q. Это также
непосредственно следует из формул (V.6.11). Поэтому можно применить
соотношение (6.10). Матрица Jp ^ дается выражением (5.9); учитывая, что
[Р, Q]s = l, [Q, Q]s = [P, P]s = 0
в силу (V.4.10), получаем
D- -=* Г ° Ч
UP,Q |__1 Oj*
откуда, согласно (6.10),
Выбирая в качестве v в соотношении (6.3) комплексный вектор \Уgp, iVg<^>
получаем новую границу для среднеквадратичного отклонения
g-pDp {М} -f-g-QDQ {М} 3=gpO'p -р gQ^QgPgQy (6.12)
где Dp{M}, Dq {М}- маргинальные дисперсии измерения M(dPdQ). Эта граница,
очевидно, лучше, чем (5.10). Она совпадает с границей (III.7.14) и
достигается на совместном каноническом измерении координаты и импульса
M(dP dQ) = \P, Q)(Q, Р\^ъг--
Напомним, что это измерение реализуется парой коммутирующих наблюдаемых:
Р = P0Iq -f- I(r)Pq> Q = Q(r)/q I(r)Qo (6.13)
в пространстве ъХГ где вспомогательная степень
свободы Р0, Q0 описывается основным состоянием 10, 0;
у Ygplgqj ¦ Характеристическая функция этсго состояния
имеет вид
exp j^- |(Кgp/gqx2 + У gqlgpy2)^ •
а% ЦТ
-1/2 '
288
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
Поскольку Р", Q0 имеют нулевые средние значения, это измерение является
несмещенным; далее будет показано, что оно удовлетворяет условию
локальной несмещенности. Следовательно, оно является равномерно наилучшим
локально несмещенным совместным измерением параметров Р, Q в гауссовском
семейстёе
