Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(3.11)
Lo - (^)>
280
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ VI
где Ф0 - коммутационный оператор состояния S?. Напомним, что S? =
(V?)*SV/. Из определений коммутационного оператора тогда вытекает, что
Ф0(Л) = У?Ф ((V?)* ЛУ?)(У?)*,
где Ф - коммутационный оператор исходного гауссовского состояния S.
Используя выражение (4.5) для оператора А и формулы (V.6.11), находим
Ln = t
P-ES(P)______t q m1 Es^)
Ds(p) 2m t)s (<?) .
так что В* =Lo/D0(L0) и Ds? (L0)^ ^ D0 (Lq)'1 = Ds? (B*). Неравенство
(2.9) дает
D*{M} > f-* [Ds (pГ1 + ~Os (9)-1]'1
для любого локально несмещенного измерения М параметра F.
§ 5. Граница для матрицы ковариации измерения многомерного параметра,
основанная на симметричной логарифмической производной
Рассмотрим семейство состояний еп|, зависящее от параметра 6 = [0i, ...,
0"], пробегающего область 0 в /г-мерном пространстве. Например, это может
быть семейство гауссовских состояний с двумерным
параметром [Р, Q], Мы предположим, что выполнены следующие условия:
1) семейство |Sgi enJ сильно дифференцируемо по
0j, ..., Вп как функция со значениями в банаховом пространстве ядерных
операторов;
2) существует некоторая постоянная с такая, что
:c-TrS6X2; X <= 33Д(^Г), /= 1, п.
Как и в случае одномерного параметра, при этих условиях существуют
симметричные логарифмические производные L(; / = 1, ..., п, определяемые
как элементы
ГРАНИЦА ДЛЯ МАТРИЦЫ КОВАРИАЦИИ
281
пространства 6Cl(St), удовлетворяющие уравнениям
dS 8
(5.1)
Нас будут интересовать измерения многомерного параметра В = [01.....0"] в
семействе состояний {S6}. Как и
в случае одномерного параметра, мы ограничимся изме-
рениями с конечными вторыми моментами, удовлетворяющими условию локальной
несмещенности
? S/ Щ (^) = /> k = 1 - • • • > п>
где ре (В) = Tr SeM (В),
*?(B) = Tr~S,.M(B), SsrffS).
В силу конечности вторых моментов, интегралы
$ Ь)М (d"6)
определяют элементы пространства Рассуждая
как в (2.7), получаем другую формулировку условия
локальной несмещенности
<.Х'м, L\)Sb = 6,*. (5 .2)
Введем информационную матрицу
Л = [(Т-е, Ls)s6j,
которая является матрицей Грама системы {/i}. Мы предположим, что матрица
Jt> невырождена. Тогда для матрицы ковариации (1.1) любого локально
несмещенного измерения имеет место многомерный аналог неравенства (2.9):
Де (5.3)
Это означает, что для любого вектора-строки v =
= [^1, н"] выполняется
vB<> {Ж} v* Si vJt'v*,
где о* -эрмитово сопряженный вектор-столбец. Так как обе матрицы
вещественны, то, не ограничивая общности,
282
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
можно считать компоненты вектора v вещественными.
Доказательство опирается на следующий элементарный факт.
Лемма 5.1. Пусть \Х'\, {Y>), j =1, ..., п,-биорто-гональные системы
векторов в некотором гильбертовом пространстве, т. е.
{XI, У*> = 6у*.
где {•, ¦) - скалярное произведение, и матрица Г рама Гу = [(Y1, Yk)\
невырождена. Тогда матрица Грама системы \Х>) удовлетворяет неравенству
Гх^Гу'. (5.4)
Доказательство. Вводя векторы X = UjX),
i
Y = 2 vkYk, имеем
(X, Y) = uv*.
Используя неравенство Коши - Буняковского, получаем
uYxu*-vYyV* = {Х, X)(Y, Y)^(uv*)2,
откуда, полагая (c) = Гу'й, получаем (5.4).
Для доказательства (5.3) прежде всего заметим, что
В, {М} Ss В, (5.5)
где B=\(XiM - 9/, Хм - 0*)se] - матрица Грама системы
{Х'м - 9/}- В самом деле, полагая в неравенстве (II.9.6)
П
/(0)= 2 М9/-0/). имеем
ро(dnB);
~3s'?iVjVk{X,M - 9/, Хкм - 0fr>.9" = vBv* /. *
для любого вектора v = [vlt ..., vn\. Далее, замечая, что
</, Lt>S| = 0
ГРАНИЦА ДЛЯ МАТРИЦЫ КОВАРИАЦИИ
283
аналогично (2.3), и учитывая (5.2), получаем
(Xju - Gj, lX) = $jk- (5.6)
Применяя доказанную лемму, имеем
Учитывая (5.5), получаем доказываемое неравенство (5.3).
Из этого неравенства сразу получается простая нижняя граница для
среднеквадратичной погрешности
S8 {M} = Tr GBt{M), где G - весовая матрица:
28{Ж}^Тг №. (5.7)
Для двухпараметрического семейства гауссовских состояний jSp с
характеристической функцией (V.5.3) симметричные логарифмические
производные даются формулами (V.6.10):
LQ = oq*(Q-Q), Lp = Op2 (Р - Р), (5.8)
так что
Го 1
Jp. 0 = [о ад2ф (5-9)
Матричное неравенство (5.3) дает два скалярных неравенства:
Dp {М} ^ Стр, D0{M}^a5,
где
DP {М} - ^{у Р)2 p-р_ q (dx dy),
DQ {M} = \ (x - Q)2 (ip g (dx dy)
- маргинальные дисперсии измерения параметров Р и Q. Отсюда для любых
весов gP, gQ
gpDp {MJ -i-^qDq {M} ^gpOp -{-gQOQ. (5.10)
Мы увидим, однако, ниже, что эта граница является не-
достижимой, и получим лучшую, достижимую границу, которая учитывает
невозможность точного совместного измерения наблюдаемых Р и Q.
284
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
§ 6. Граница, основанная
на правой логарифмической производной
В отличие от классической математической статистики, в некоммутативной
теории существует несколько различных вариантов неравенства Рао -
Крамера, использующих разные определения логарифмической производной.
Предположим, как и в § 5, что семейство |Sei оп} сильно
дифференцируемо по 0Х, ..., 0", однако вместо условия 2) потребуем
